Equação cúbica

Solução para equação cúbica utilizando as fórmulas de Viète.

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Julia Gomes

Criado: 2020-07-22 02:27:43, Ultima atualização: 2020-11-03 14:19:39

A forma canônica da equação cúbica é
ax^3+bx^2+cx+d=0

A fórmulas de Viète são usadas para resolver equações como
x^3+ax^2+bx+c=0
portanto, o primeiro passo é dividir todos os coeficientes por "a".

Aqui está a calculadora, a descrição do cálculo utilizando as fórmulas de Viète estão abaixo

PLANETCALC, Equação Cúbica

Equação Cúbica

Dígitos após o ponto decimal: 2
x1
 
x2
 
x3
 
Q
 
R
 
S
 

Você pode encontrar uma descrição mais detalhada das fórmulas de Viète para equações cúbicas aqui

Primeiro calculamos
Q=\frac{a^2-3b}{9}
R=\frac{2a^3-9ab+27c}{54}

Então
S=Q^3-R^2

Se S > 0, então
\phi = \frac{1}{3}\arccos\left(\frac{R}{\sqrt{Q^3}}\right)
e temos três raízes reais:

x_1=-2\sqrt{Q}\cos(\phi)-\frac{a}{3}
x_2=-2\sqrt{Q}\cos\left(\phi+\frac{2}{3}\pi\right)-\frac{a}{3}
x_3=-2\sqrt{Q}\cos\left(\phi-\frac{2}{3}\pi\right)-\frac{a}{3}

Se S < 0, as funções trigonométricas são substituídas por hiperbólicas. Dependendo do sinal de Q

Q > 0:
\phi = \frac{1}{3}\,\operatorname{Arch}\left(\frac{|R|}{\sqrt{Q^3}}\right)
x_1=-2sgn(R)\sqrt{Q}\,\operatorname{ch}(\phi)-\frac{a}{3}
(raiz real)
x_{2,3}=sgn(R)\sqrt{Q}\,\operatorname{ch}(\phi)-\frac{a}{3} \pm i \sqrt{3}\sqrt{Q}\,\operatorname{sh}(\phi)
(duas raízes complexas)

Q < 0:

\phi = \frac{1}{3}\,\operatorname{Arsh}\left(\frac{|R|}{\sqrt{|Q|^3}}\right)
x_1=-2sgn(R)\sqrt{|Q|}\, \operatorname{sh}(\phi)-\frac{a}{3}
(raíz real)
x_{2,3}=sgn(R)\sqrt{|Q|}\, \operatorname{sh}(\phi)-\frac{a}{3} \pm i \sqrt{3} \sqrt{|Q|}\,\operatorname{ch}(\phi)
(duas raízes complexas)

Se S = 0, então é uma equação singular e tem apenas duas raízes:

x_1=-2sgn(R)\sqrt{Q}-\frac{a}{3}=-2\sqrt[3]{R}-\frac{a}{3}
x_2=sgn(R)\sqrt{Q}-\frac{a}{3}=\sqrt[3]{R}-\frac{a}{3}

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PLANETCALC, Equação cúbica

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