Método de iteração de ponto fixo

Esta calculadora online computa os pontos fixos de funções iteradas utilizando o método de iteração de ponto fixo (método das aproximações sucessivas)

Em análise numérica, a iteração de ponto fixo é um método de computar pontos fixos de funções iteradas.

Mais especificamente, dada uma função f definida nos números reais com valores reais e dado o ponto x_0 no domínio de f, a iteração do ponto fixo é

x_{n+1}=f(x_n), \, n=0, 1, 2, \dots

o que levanta a sequência x_0, x_1, x_2, \dots, da qual é esperada a convergência a um ponto x. Se f for contínua, então é possível provar que o x obtido é um ponto fixo de f, ex.: f(x)=x.

Fonte

Este método, na verdade, é meio que um método de aproximações sucessivas, o método de solução de problemas matemáticas por meios de uma sequência de aproximações que convergem na solução e é construído recursivamente - isso é, cada nova aproximação é calculada na base da aproximação precedente; a escolha da aproximação inicial é, até certo ponto, abritária. O método é utilizado para aproximar as raízes das equações algébricas e transcendentais. Ele também é usado para provar a existência de uma solução e para aproximar as soluções de equações diferenciais, integrais e integro-diferenciais.

A utilização deste método é bem simples:

  • suponha um valor aproximado para a variável (valor inicial)
  • solucione a variável
  • use a resposta como segundo valor aproximado e solucione a equação novamente
  • repita este processo até que a precisão desejada para a variável seja obtida

Isso é exatamente o que a calculadora abaixo faz. Ela faz cálculos iterativos de x através da dada fórmula e para quando dois valores sucessivos diferem para menos do que a precisão estabelecida.

Também é válido mencionar que a função usada como exemplo, ex.:
x=\frac{1}{2}(\frac{a}{x}+x),
é a função iterada para calcular a raiz quadrada de a. Isso é talvez o primeiro algoritmo usado para aproximação de raiz quadrada e é conhecido como o "Método babilônico", chamado assim em referência aos babilônicos, ou "Método de Heron", chamado assim em referência ao matemático grego do primeiro século Heron de Alexandria, que deu a primeira explicação explícita do método.

PLANETCALC, Método de iteração de ponto fixo

Método de iteração de ponto fixo

As aproximações são pausadas quando a diferença entre dois valores sucessivos de x se tornam menores que o percentual especificado
Dígitos após o ponto decimal: 5
Fórmula
 
 
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