Método de iteração de ponto fixo
Esta calculadora online computa os pontos fixos de funções iteradas utilizando o método de iteração de ponto fixo (método das aproximações sucessivas)
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Em análise numérica, a iteração de ponto fixo é um método de computar pontos fixos de funções iteradas.
Mais especificamente, dada uma função definida nos números reais com valores reais e dado o ponto
no domínio de
, a iteração do ponto fixo é
o que levanta a sequência , da qual é esperada a convergência a um ponto
. Se
for contínua, então é possível provar que o
obtido é um ponto fixo de
, ex.:
.
Este método, na verdade, é meio que um método de aproximações sucessivas, o método de solução de problemas matemáticas por meios de uma sequência de aproximações que convergem na solução e é construído recursivamente - isso é, cada nova aproximação é calculada na base da aproximação precedente; a escolha da aproximação inicial é, até certo ponto, abritária. O método é utilizado para aproximar as raízes das equações algébricas e transcendentais. Ele também é usado para provar a existência de uma solução e para aproximar as soluções de equações diferenciais, integrais e integro-diferenciais.
A utilização deste método é bem simples:
- suponha um valor aproximado para a variável (valor inicial)
- solucione a variável
- use a resposta como segundo valor aproximado e solucione a equação novamente
- repita este processo até que a precisão desejada para a variável seja obtida
Isso é exatamente o que a calculadora abaixo faz. Ela faz cálculos iterativos de x através da dada fórmula e para quando dois valores sucessivos diferem para menos do que a precisão estabelecida.
Também é válido mencionar que a função usada como exemplo, ex.:
,
é a função iterada para calcular a raiz quadrada de a. Isso é talvez o primeiro algoritmo usado para aproximação de raiz quadrada e é conhecido como o "Método babilônico", chamado assim em referência aos babilônicos, ou "Método de Heron", chamado assim em referência ao matemático grego do primeiro século Heron de Alexandria, que deu a primeira explicação explícita do método.
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