Equações Diofantinas lineares
Esta calculadora resolve equações diofantinas lineares.
Como de costume, aqui vai a calculadora, com a teoria logo abaixo.
Equações diofantinas lineares
Já que isso é tudo sobre matemática, eu copiei parte do conteúdo da Wikipédia para começarmos.
Na matemática, uma equação Diofantina é uma equação polinomial que permite a duas ou mais variáveis assumirem apenas valores inteiros. Uma equação linear Diofantina é uma equação entre duas somas de monômios de grau zero ou um.
A equação Diofantina linear mais simples tem a seguinte forma
,
onde a, b e c são números inteiros determinados, x, y — desconhecidos.
As soluções são completamente descritas pelo seguinte teorema: Esta equação Diofantina possui uma solução (onde x e y são números inteiros) se e apenas se c for um múltiplo do maior divisor comum de a e b. Além disso, se (x, y) for uma solução, então as outras soluções possuem a forma (x + kv, y - ku), onde k é um número inteiro arbitrário, e u e v são os quocientes de a e b (respectivamente) pelo maior divisor comum de a e b.
Para encontrar a solução, podemos utilizar o Algoritmo Euclidiano estendido (exceto para a= b = 0 onde ou há infinitas soluções ou nenhuma).
Se a e b forem números inteiros positivos, podemos encontrar seu MDC g utilizando o Algoritmo Euclidiano estendido, juntamente com и
, logo:
.
Se c for um múltiplo de g, a equação Diofantina possui solução, caso contrário, não há solução.
Isso é, se c for um múltiplo de g, então
e uma das possíveis soluções é:
Se ou a ou b forem negativos, podemos resolver a equação utilizando seu módulo, então modificamos o sinal de acordo.
Se soubermos uma das soluções, podemos encontrar sua forma geral.
Considerando g = GCD(a,b), temos:
.
Ao adicionar para
e subtraindo
de
, obtemos:
Então, qualquer número como estes:
,
onde k é um número inteiro, são soluções para equação Diofantina linear.
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