Equações Diofantinas lineares

Esta calculadora resolve equações diofantinas lineares.

Como de costume, aqui vai a calculadora, com a teoria logo abaixo.

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Equações diofantinas lineares

Equação
 
Todas as soluções para x
 
Todas as soluções para y
 
x
 
y
 

Já que isso é tudo sobre matemática, eu copiei parte do conteúdo da Wikipédia para começarmos.

Na matemática, uma equação Diofantina é uma equação polinomial que permite a duas ou mais variáveis assumirem apenas valores inteiros. Uma equação linear Diofantina é uma equação entre duas somas de monômios de grau zero ou um.

A equação Diofantina linear mais simples tem a seguinte forma

ax + by = c,

onde a, b e c são números inteiros determinados, x, y — desconhecidos.

As soluções são completamente descritas pelo seguinte teorema: Esta equação Diofantina possui uma solução (onde x e y são números inteiros) se e apenas se c for um múltiplo do maior divisor comum de a e b. Além disso, se (x, y) for uma solução, então as outras soluções possuem a forma (x + kv, y - ku), onde k é um número inteiro arbitrário, e u e v são os quocientes de a e b (respectivamente) pelo maior divisor comum de a e b.

Para encontrar a solução, podemos utilizar o Algoritmo Euclidiano estendido (exceto para a= b = 0 onde ou há infinitas soluções ou nenhuma).

Se a e b forem números inteiros positivos, podemos encontrar seu MDC g utilizando o Algoritmo Euclidiano estendido, juntamente com x_g и y_g, logo:

ax_g + by_g = g.

Se c for um múltiplo de g, a equação Diofantina ax + by = c possui solução, caso contrário, não há solução.

Isso é, se c for um múltiplo de g, então

a x_g (\frac{c}{g}) + b y_g (\frac{c}{g})=c

e uma das possíveis soluções é:

x_0 = x_g (\frac{c}{g})

y_0 = y_g(\frac{c}{g})

Se ou a ou b forem negativos, podemos resolver a equação utilizando seu módulo, então modificamos o sinal de acordo.

Se soubermos uma das soluções, podemos encontrar sua forma geral.

Considerando g = GCD(a,b), temos:

ax_0 + by_0 = c.

Ao adicionar \frac{b}{g} para x_0 e subtraindo \frac{a}{g} de y_0, obtemos:

a(x_0 + \frac{b}{g}) + b(y_0 - \frac{a}{g}) = ax_0+by_0 + \frac{ab}{g}-\frac{ba}{g}=c

Então, qualquer número como estes:
x = x_0 + k \frac{b}{g}

y = y_0 - k \frac{a}{g},

onde k é um número inteiro, são soluções para equação Diofantina linear.

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