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Eliminação de Gauss

A calculadora soluciona os sistemas de equações lineares utilizando o algoritmo de redução por linha (eliminação de Gauss). A calculadora produz uma descrição passo-a-passo da solução.

Os sistemas de equações lineares:
\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m\\ \end{cases}
podem ser resolvidos utilizando a eliminação de Gauss com ajuda da nossa calculadora.

Na eliminação de Gauss, o sistema de equação linear é representado como uma matriz aumentada, ex.: a matriz contendo os coeficientes da equação a_{ij} e os termos constantes b_i com dimensões [n:n+1]:
\begin{array}{|cccc|c|} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & b_2\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} & b_n\\ \end{array}

PLANETCALC, Eliminação de Gauss

Eliminação de Gauss

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Eliminação de Gauss

O método possui esse nome em homenagem a Carl Friedrich Gauss, o gênio matemático alemão do Século XIX. O próprio Gauss não inventou este método. O método de redução por linha era conhecido dos antigos matemáticos chineses, sendo descrito nos Nove Capítulos da Arte Matemática, livros matemáticos chineses, publicados no Século II.

Fase de eliminação

O primeiro passo da eliminação de Gauss é a obtenção da matriz de forma escalonada por linha. A parte esquerda inferior desta matriz contém apenas zeros, e todos as linhas zero estão abaixo das linhas não-zero:
\begin{array}{|cccc|c|} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & \beta_1\\ 0 & a_{22} & ... & a_{2n} & \beta_2 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & a_{nn} & \beta_n\\ \end{array}

A matriz é reduzida a esta forma pelas operações de linha elementares: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por uma constante, adicionar a uma linha um múltiplo escalar de outra.
Nossa calculadora obtém a forma escalonada utilizando a subtração sequencial de linhas superiores A_i, multiplicada por {a_{ji}} das linhas inferiores A_j , multiplicada por {a_{ii}}, onde i - linha do coeficiente principal (linha do pivô).
É importante obter o coeficiente principal não-zero. Se ele se tornar zero, a linha é trocada por uma inferior com um coeficiente não-zero na mesma posição.

Fase de substituição retrocedida

Durante esta etapa, as operações de linha elementares continuam até que a solução seja encontrada. Finalmente, ela coloca a matriz na forma reduzida escalonada por linhas :
\begin{array}{|cccc|c|} 1 & 0 & ... & 0 & \beta_1\\ 0 & 1 & \vdots & 0 & \beta_2 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \beta_n\\ \end{array} ,
.

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 eliminação de Gauss Gauss Matemática redução de linha sistema de equações lineares
PLANETCALC, Eliminação de Gauss
Anton2020-11-03 14:19:40

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