Eliminação de Gauss

A calculadora soluciona os sistemas de equações lineares utilizando o algoritmo de redução por linha (eliminação de Gauss). A calculadora produz uma descrição passo-a-passo da solução.

Os sistemas de equações lineares:
\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m\\ \end{cases}
podem ser resolvidos utilizando a eliminação de Gauss com ajuda da nossa calculadora.

Na eliminação de Gauss, o sistema de equação linear é representado como uma matriz aumentada, ex.: a matriz contendo os coeficientes da equação a_{ij} e os termos constantes b_i com dimensões [n:n+1]:
\begin{array}{|cccc|c|}  a_{11} &  a_{12} &  ... &  a_{1n} &  b_1\\  a_{21} &  a_{22} &  ... &  a_{2n} &  b_2\\  ... &  ... &  ... &  ... &  ...\\  a_{n1} &  a_{n2} &  ... &  a_{nn} &  b_n\\ \end{array}

PLANETCALC, Eliminação de Gauss

Eliminação de Gauss

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Eliminação de Gauss

O método possui esse nome em homenagem a Carl Friedrich Gauss, o gênio matemático alemão do Século XIX. O próprio Gauss não inventou este método. O método de redução por linha era conhecido dos antigos matemáticos chineses, sendo descrito nos Nove Capítulos da Arte Matemática, livros matemáticos chineses, publicados no Século II.

Fase de eliminação

O primeiro passo da eliminação de Gauss é a obtenção da matriz de forma escalonada por linha. A parte esquerda inferior desta matriz contém apenas zeros, e todos as linhas zero estão abaixo das linhas não-zero:
\begin{array}{|cccc|c|}  a_{11} &  a_{12} &  ... &  a_{1n} &  \beta_1\\  0 &  a_{22}  &  ... &  a_{2n} &  \beta_2 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 &  0 &  0 & a_{nn} &  \beta_n\\ \end{array}

A matriz é reduzida a esta forma pelas operações de linha elementares: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por uma constante, adicionar a uma linha um múltiplo escalar de outra.
Nossa calculadora obtém a forma escalonada utilizando a subtração sequencial de linhas superiores A_i, multiplicada por {a_{ji}} das linhas inferiores A_j , multiplicada por {a_{ii}}, onde i - linha do coeficiente principal (linha do pivô).
É importante obter o coeficiente principal não-zero. Se ele se tornar zero, a linha é trocada por uma inferior com um coeficiente não-zero na mesma posição.

Fase de substituição retrocedida

Durante esta etapa, as operações de linha elementares continuam até que a solução seja encontrada. Finalmente, ela coloca a matriz na forma reduzida escalonada por linhas :
\begin{array}{|cccc|c|}  1 &  0 &  ... &  0 &  \beta_1\\  0 &  1 &  \vdots &  0 &  \beta_2 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 &  0 &  0 & 1 &  \beta_n\\ \end{array} ,
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