Calculadora online: Eliminação de Gauss

Os sistemas de equações lineares:
$\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m\\ \end{cases}$
podem ser resolvidos utilizando a eliminação de Gauss com ajuda da nossa calculadora.

Na eliminação de Gauss, o sistema de equação linear é representado como uma matriz aumentada, ex.: a matriz contendo os coeficientes da equação $a_{ij}$ e os termos constantes $b_i$ com dimensões [n:n+1]:
$\begin{array}{|cccc|c|} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & b_2\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} & b_n\\ \end{array}$

Eliminação de Gauss

Matriz do sistema de equações lineares

Precisão de cálculo

Dígitos após o ponto decimal: 2

Número de soluções

Vetor de solução

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Eliminação de Gauss

O método possui esse nome em homenagem a Carl Friedrich Gauss, o gênio matemático alemão do Século XIX. O próprio Gauss não inventou este método. O método de redução por linha era conhecido dos antigos matemáticos chineses, sendo descrito nos Nove Capítulos da Arte Matemática, livros matemáticos chineses, publicados no Século II.

Fase de eliminação

O primeiro passo da eliminação de Gauss é a obtenção da matriz de forma escalonada por linha. A parte esquerda inferior desta matriz contém apenas zeros, e todos as linhas zero estão abaixo das linhas não-zero:
$\begin{array}{|cccc|c|} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & \beta_1\\ 0 & a_{22} & ... & a_{2n} & \beta_2 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & a_{nn} & \beta_n\\ \end{array}$

A matriz é reduzida a esta forma pelas operações de linha elementares: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por uma constante, adicionar a uma linha um múltiplo escalar de outra.
Nossa calculadora obtém a forma escalonada utilizando a subtração sequencial de linhas superiores $A_i$ , multiplicada por ${a_{ji}}$ das linhas inferiores $A_j$ , multiplicada por ${a_{ii}}$ , onde i - linha do coeficiente principal (linha do pivô).
É importante obter o coeficiente principal não-zero. Se ele se tornar zero, a linha é trocada por uma inferior com um coeficiente não-zero na mesma posição.

Fase de substituição retrocedida

Durante esta etapa, as operações de linha elementares continuam até que a solução seja encontrada. Finalmente, ela coloca a matriz na forma reduzida escalonada por linhas :
$\begin{array}{|cccc|c|} 1 & 0 & ... & 0 & \beta_1\\ 0 & 1 & \vdots & 0 & \beta_2 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \beta_n\\ \end{array}$ ,
.

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Fase de eliminação

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