Método da posição falsa

Método da posição falsa - é um algoritmo de localização de raízes que usa uma sucessão de raízes de linhas secantes combinadas com o método da bissecção para aproximar a raiz de uma função f..

Uma breve descrição do método da posição falsa pode ser encontrada abaixo da calculadora

PLANETCALC, Método da posição falsa

Método da posição falsa

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Fórmula
 
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x
 

Método da posição falsa

Método de posição falsa ou 'regula falsi' é um algoritmo de localização de raiz que combina características do método de bissecção e o Método da secante.

Como no método da secante, usamos a raiz de uma linha secante (o valor de x tal que y = 0) para calcular a próxima aproximação de raiz para a função f.

A derivação da relação de recorrência é a mesma que no método secante:

Suponha que temos os valores iniciais x0 e x1, com os valores da função f(x0) e f(x1).
A linha secante tem a equação

\frac{y - f(x_1)}{f(x_1)-f(x_0)}=\frac{x - x_1}{x_1-x_0}

Portanto, a raiz da linha secante (onde у=0) é

x = x_1 - \frac{x_1 - x_0}{f(x_1)-f(x_0)}f(x_1)

A fórmula acima também é usada no método da secante, mas o método da secante sempre retém os dois últimos pontos calculados, enquanto o método da posição falsa retém dois pontos que sempre colocam uma raiz entre parênteses.
Uma interpretação gráfica pode ser vista abaixo.

Metodo_delle_secanti.gif

Fonte

Como pode ser visto na relação de recorrência, o método da posição falsa requer dois valores iniciais, x0 e x1, que devem colocar a raiz entre parênteses. Entretanto, ao contrário do método de bissecção, a largura do colchete não tende a zero com as iterações.

A condição de tolerância pode ser:

f(x_k)< \epsilon — o valor da função é menor que ε.

\left|x_k-x_{k-1}\right| < \epsilon — a diferença entre dois хk subsequentes é menor que ε. Observe que esta é a diferença entre dois xk subsequentes calculados, não os pontos fixos do intervalo.

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