As ondas e o vento. Cálculo das características da onda

Cálculo das características da onda

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Timur

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Julia Gomes

Criado: 2021-06-09 01:37:17, Ultima atualização: 2021-06-09 02:41:26
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A intuição sugere que existe alguma relação entre a força do vento e as ondas. Visto que não sei muito sobre a teoria das ondas, tive que estudá-la.
O resultado do meu estudo é a calculadora abaixo, junto com minhas reflexões sobre o assunto. A calculadora não calcula, ou mais precisamente, ela não prevê a altura das ondas - este é um assunto separado abordado aqui - As ondas e o vento. Previsão estatística de altura de onda.

PLANETCALC, Cálculo de desempenho de onda

Cálculo de desempenho de onda

Dígitos após o ponto decimal: 2
Profundidade relativa
 
Comprimento de onda (metros)
 
Frequência angular (rad/s)
 
Número de onda
 
Velocidade de fase (m/s)
 
Velocidade de grupo (m/s)
 

Teoria

É claro, as ondas do mar não podem ser descritas por uma única onda senoidal, uma vez que elas se formam a partir da imposição de uma pluralidade de ondas com diferentes períodos e fases. Por exemplo, observe a figura abaixo, que mostra a onda resultante da imposição de três ondas senoidais diferentes.

"Wave disp" (Dispersão de Onda) por Kraaiennest - Obra própria. Licenciado sob GFDL pela Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wave_disp.gif#mediaviewer/File:Wave_disp.gif
"Wave disp" (Dispersão de Onda) por Kraaiennest - Obra própria. Licenciado sob GFDL pela Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wave_disp.gif#mediaviewer/File:Wave_disp.gif



Fonte: "Wave disp" (Dispersão de Onda) por Kraaiennest - Obra própria. Licenciado sob GFDL pela Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wave_disp.gif#mediaviewer/File:Wave_disp.gif

Portanto, para a análise do estado do mar, o espectro de energia normalmente é construído, unidades de energia alocadas no eixo Y e frequência no eixo X. Dessa forma, obtém-se a densidade de energia - a quantidade de energia deslocada por ondas com uma banda de frequência correspondente. Como é possível perceber, sob a influência do vento, a forma do espectro de energia é alterada. Quanto mais forte o vento, mais forte o pico no espectro expresso - ondas de certas frequências deslocando mais energia. Na figura a seguir eu desenhei seu visual aproximado da melhor maneira que consegui.

A distribuição de energia do espectro de frequência, dependendo da força do vento
A distribuição de energia do espectro de frequência, dependendo da força do vento

As frequências onde um pico é observado são chamadas de dominantes. Dessa forma, você pode tornar sua vida mais fácil e calcular as características das ondas apenas para a frequência dominante. A prática tem mostrado que isso será suficiente para fornecer uma boa aproximação da realidade.

No que se refere às características das ondas, a teoria das ondas lineares vem ajudar, nomeadamente, o cálculo das ondas gravitacionais na aproximação linearizada. Para deixar mais claro o que quero dizer, vamos dar algumas definições a partir da wikipédia:

Ondas capilares — o nome de várias ondas geradas na interface entre um líquido e um gás ou líquido e líquido. A parte inferior das ondas é chamada de vale, e a parte superior de crista.

Ondas de gravidade na água — tipos de ondas na superfície do líquido cuja força que retorna a superfície deformada do líquido ao estado de equilíbrio é simplesmente a força da gravidade relacionada à diferença de altura das cristas e vales no campo gravitacional.

Dispersão de Onda — na teoria das ondas, a diferença nas velocidades de fase das ondas lineares de acordo com sua frequência. Isto é, diferentes comprimentos de onda (respectivamente de diferentes frequências) possui diferentes velocidades em um ambiente que claramente demonstrou a experiência com a refração da luz em um prisma. Isso será importante para uma futura discussão.

Número de onda — são os 2π radianos para a proporção do comprimento de onda: k \equiv \frac{2\pi}{\lambda}. O número de onda pode ser representado como a diferença na fase da onda (em radianos) simultaneamente nos pontos espaciais a uma distância por unidade de comprimento (um metro), ou um número de períodos espaciais (crista) de ondas que alcançam 2π metros.

Utilizando a definição do número de onda, podemos escrever a fórmula a seguir:

Comprimento de onda
\lambda=\frac{2\pi}{k}

Velocidade de fase (velocidade de crista)
c=\frac{\omega}{k}

Período de onda (expresso em termos de frequência angular)
T=\frac{2\pi}{\omega}

A imagem a chamar a atenção - o ponto vermelho mostra a velocidade da fase, o ponto verde - a velocidade do grupo (a velocidade do pacote de onda)

"Wave group" (Grupo de onda) por Kraaiennest - Obra própria. Licensiado sob GFDL pela Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wave_group.gif#mediaviewer/File:Wave_group.gif
"Wave group" (Grupo de onda) por Kraaiennest - Obra própria. Licensiado sob GFDL pela Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wave_group.gif#mediaviewer/File:Wave_group.gif



Fonte: "Wave group" (Grupo de onda) por Kraaiennest - Obra própria. Licensiado sob GFDL pela Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wave_group.gif#mediaviewer/File:Wave_group.gif

A Lei da Dispersão

O elemento chave no cálculo das características da onda é o conceito da lei da dispersão ou relação de dispersão (proporção).

A lei da dispersão ou equação de dispersão (proporção) na teoria das ondas - é a relação da frequência e do vetor da onda (número de onda).

Em termos gerais, esta relação é escrita como
\omega=f(k).

Esta proporção de água derivada na teoria das ondas lineares para a chamada superfície livre, ou seja, a superfície do líquido, não limitada às paredes do navio ou leito, se aparenta da seguinte forma:
\omega^2=gk \tanh(kh),
onde
g - aceleração de queda livre,
k - número de onda,
tanh - tangente hiperbólica,
h - distância da superfície do líquido até o fundo.

É possível simplificar ainda mais a fórmula com base no gráfico da tangente hiperbólica. Observe que, para kh, tende a zero, a tangente hiperbólica pode ser aproximada por seu argumento, ou seja, o valor kh; e se kh tende ao infinito, a tangente hiperbólica kh tende a um. O último caso, obviamente, se refere a uma profundidade muito grande. É possível avaliar quão grande elas precisam ser? Se você pegar a tangente hiperbólica de pi, seu valor será aproximadamente igual a 0.9964, que já é bastante próximo a um (o número Pi é considerado por conveniência da fórmula). Então
kh\geq\pi \Rightarrow \frac{2 \pi h}{\lambda}\geq\pi \Rightarrow h\geq\frac{\lambda}{2}.
Para calcular as características da onda, a água pode ser considerada profunda se a profundidade for superior a pelo menos metade do comprimento de onda e, na maioria dos lugares dos oceanos do mundo, essa condição é atendida.

Em geral, baseado no gráfico de tangente hiperbólica, a seguinte classificação de ondas para a profundidade relativa é utilizada (proporção da profundidade e o comprimento de onda).

1. Ondas em águas profundas
A profundidade é mais da metade do comprimento de onda, a tangente hiperbólica se aproxima de um
h\geq\frac{\lambda}{2}, \tanh(kd)\approx1

2. Ondas nas profundidades de transição
A profundidade de um vigésimo a meio comprimento de onda, a tangente hiperbólica não pode ser aproximada
\frac{\lambda}{20} \leq h \leq \frac{\lambda}{2}, \tanh(kd)=\tanh(kd)

3. Ondas em águas rasas
A profundidade menor que um vigésimo do comprimento de onda, a tangente hiperbólica pode ser aproximada por seu argumento
h\leq\frac{\lambda}{20}, \tanh(kd)=kd

Considere a proporção para estes casos:

O caso de águas rasas

A equação toma a forma
\omega^2=gk(kh)=ghk^2,
de onde
c=\sqrt{gh}
\lambda=T\sqrt{gh}

A velocidade do grupo para o caso de águas rasas
c_g=c=\sqrt{gh}

Conforme a teoria, em águas rasas, a onda não precisa ter dispersão porque a velocidade de fase é independente da frequência. Entretanto, devemos nos lembrar que efeitos não lineares em águas rasas estão começando a funcionar associados a expansão da amplitude das ondas. Isso começa a acontecer quando a amplitude da onda é comparável ao seu comprimento. Um dos efeitos característicos desse modo é o aparecimento de fraturas nos topos das ondas. Além disso, existe a possibilidade de quebra de onda - um surf bem conhecido. Esses efeitos ainda não são passíveis de cálculos analíticos precisos.

Caso de profundidades de transição

A equação não é simplificada, e então
c=\frac{gT}{2\pi}\tanh(\frac{2\pi d}{\lambda})
\lambda=\frac{gT^2}{2\pi}\tanh(\frac{2\pi d}{\lambda})

A velocidade do grupo para profundidades de transição
c_g=\frac{1}{2}(1+\frac{4 \pi \frac{d}{\lambda}}{\sinh(4 \pi \frac{d}{\lambda})})c

Observe que a equação do comprimento de onda é transcendental e encontrar sua solução deve ser feito numericamente. Por exemplo, utilizando o Método de iteração de ponto fixo.

Caso de águas profundas

A equação toma a forma
\omega^2=gk,
de onde
c=\frac{gT}{2\pi}
\lambda=\frac{gT^2}{2\pi}

A velocidade do grupo no caso de águas profundas
c_g=\frac{1}{2}c=\frac{gT}{4\pi}

Então, através da medição o período de uma onda com precisão suficiente, conseguimos calcular a velocidade da fase, a velocidade do grupo e o comprimento de onda. E a medição do período da onda pode ser feita, por exemplo, cronometrando o tempo de passagem das cristas das ondas com um cronômetro, ou seja, o período - esta é a coisa mais razoável que pode ser medida sem instrumentos especiais. Se você estiver em algum lugar perto da costa - é necessário conhecer a profundidade. Se a profundidade for obviamente grande, você pode utilizar fórmulas para águas profundas, nas quais a profundidade, como parâmetro, não está incluída. Como temos à mão um poder de processamento do computador, a calculadora não usa a fórmula simplificada, encontrando o comprimento de onda pelo método de iteração (o método irá convergir, uma vez que a derivada da função é menor que um).

Agora, de volta ao vento. O vento, soprando constantemente em uma direção, gera as ondas, através da transmissão de sua energia a elas.
E bastante óbvio, para transmitir energia às ondas, o vento deve soprar mais rápido, ou pelo menos a uma taxa igual à velocidade de fase da onda.

Aí vem uma formulação marítima totalmente desenvolvida. Mar completamente desenvolvido - onda, que alcançou valores máximos com um determinado vento. A onda está em equilíbrio no que se refere à energia - quanto mais energia é transmitida, maior será o movimento. Nem toda onda atinge esse estado, visto que é necessário que o vento sopre constantemente sobre toda a superfície pela qual a onda passa por algum tempo. Além disso, quanto mais forte o vento, mais tempo e distância são necessários para a formação de tal onda. Quando for formada, ela certamente alcançará a velocidade de fase da velocidade do vento.

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