Integração numérica

Para calcular a integral definida pelo método do retângulo, método trapezoidal, método de Simpson ou outros métodos quadráticos de Newton-Cotes.

Os métodos numéricos podem ser utilizados para aproximação de valor da integral definida. A integração numérica é usada no caso de impossibilidade de avaliar a primitiva analiticamente, assim calculando a integral definida utilizando o axioma de Newton-Leibniz.

A integração numérica de uma função de argumento único pode ser representada como o cálculo de área (ou quadratura) de um trapezóide curvilíneo delimitado pelo gráfico de uma dada função, o eixo-x e as linhas verticais delimitando os dados limites.
A função do integrando é substituída pelo um mais simples (que tem uma primitiva) aproximando do integrando com uma dada precisão. Substituindo o integrando com polinômios de Lagrange avaliados em pontos igualmente espaçados em determinados limites produz as fórmulas de integração de Newton-Cotes, como:

  1. Regra do retângulo
  2. Regra trapezoidal
  3. Regras de Simpson

PLANETCALC, Integração numérica utilizando as fórmulas de Newton-Cotes

Integração numérica utilizando as fórmulas de Newton-Cotes

Dígitos após o ponto decimal: 6
Fórmula
 
Valor integral definido
 
Função da quadratura
 
Erro no método
 
Intervalo
 
Visualização geométrica integral
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Fonte da fórmula
 
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Integração numérica utilizando as fórmulas de Newton-Cotes

Utilizando as fórmulas de Newton-Cotes, o intervalo de integração é dividido pelos pontos x1,x2,x3..xn em segmentos de linha iguais.
A função do integrando é substituída pelos polinômios de Lagrange de grau diferente, integração esta que resulta nas fórmulas de integração numérica com grau diferente de precisão.

Finalmente, a aproximação da integral definida é avaliada como a soma pesada de valores de integrando avaliados pelos pontos de integração:
I\approx \sum _{{i=1}}^{{n}}{W_i}f(x_{i})+R_n

  • Wi - pesos, determinados pelos métodos de integração
  • Rn - resto ou erro.
  • n - número de pontos de integração.
  • A soma da fórmula é uma regra quadrática.

O manual Funções quadráticas de Newton-Cotes contém algumas regras quadráticas de Newton-Cotes comumente mencionadas para integração em intervalos igualmente espaçados. Qualquer usuário registrado pode adicionar uma nova regra quadrática neste manual.

Limites de segmento de integração

Dependendo do ponto de término utilizando um método de integração, regras abertas ou fechadas são distinguidas.

Regras abertas não utilizam pontos de término. Os métodos de integração aberta podem ser usados nos casos onde a função do integrando é indefinida em alguns pontos.
Ex.: utilizando o método o retângulo, podemos aproximar o valor da integral definida In(x) no segmento de linha (0,1), apesar de In(0) ser indefinido.

Em contrapartida, as regras fechadas usam os pontos de término assim como os pontos do meio para avaliar os valores de função do integrando.

Regras meio-abertas (ex.: regra do retângulo à esquerda ou regra do retângulo à direita) também podem ser usadas para aproximar a integral no segmento de linha aberto em apenas um lado.

Erro de aproximação da regra de Newton-Cotes

Geralmente, pelo aumento do número de pontos de integração (com aumento do grau polinomial), a precisão é elevada também. Porém, para algumas funções, isso não é verdadeiro.

Karl Runge, matemático alemão, analisou esta singularidade primeiro.
Ele notou que o polinômio de interpolação com intervalo igualmente espaçado para a função \frac{1}{1+25x^2} pára de convergir no alcance 0.726.. ≤ |x| <1 com o aumento do grau polinomial.
Isso pode ser explicado ao olhar para a equação de erro. A fórmula include o intervalo h e a fatorial n!, ambas aumentam a precisão se n tende ao infinito, mas o valor parcial da derivada de grau-n, que diminui de precisão na equação de erro, eleva mais rápido para funções particulares.

Além disso, com o aumento do grau polinomial de interpolação, temos pesos negativos, que podem aumentar o erro computacional. A calculadora exibe os resultados da função quadrática intermediária em forma de gráfico. Para os métodos que tem apenas peso positivo Wi. se parece com a representação de soma de Riemann. Se pesos negativos Wi existem, o gráfico tem ambas as metades positiva e negativa, que são mais amplas que o intervalo de integração. Este efeito pode ser observado aqui: Regra fechada de Newton-Cotes com 11 nós

Levando em conta estes argumentos, não é recomendado usar regras com grau polinomial >10.

Para aumentar a precisão, o intervalo de integração pode ser dividido em algumas partes, para cada uma das quais a integral definida pode ser calculada separadamente com qualquer regra de integração. O valor final da integral é a soma da integral para cada intervalos parciais.

Para avaliar um novo método de integração baseado em intervalos igualmente espaçados, você pode utilizar a seguinte calculadora contendo uma caixa de entrada para inserir os pesos:

PLANETCALC, Integração numérica com coeficientes das fórmulas Newton-Cotes

Integração numérica com coeficientes das fórmulas Newton-Cotes

Todos os pesos devem estar separados por vírgula. Um peso é uma fração simples na forma de n/d, onde n - numerador, d- denominador ou número real. O primeiro peso é um multiplicador comum, ajuste para 1 caso não haja multiplicador comum.
Dígitos após o ponto decimal: 6
Valor integral definido
 
Fórmula
 
Função da quadratura
 
Visualização geométrica integral
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Os pesos são números reais ou frações comuns separados por vírgula. O primeiro coeficiente na lista de peso é um multiplicado comum, insira 1 lá caso não haja multiplicador comum.

E.g. 3/8,1,3,3,1 weights can be used for Regra de 3/8 de Simpson

A aproximação da integral definida com as Regras de integração de Newton-Cotes está longe de ser ideal. Para aplicações reais, você deve usar métodos melhores, ex.: Regra de Gauss-Kronrod. Esperamos ilustrar isto nas próximas calculadoras e artigos em um futuro próximo.


Referência bibliográfica:

  1. Métodos numéricos, N.S. Bakhvalov, 2012
  2. Métodos numéricos, U.G.Pirumov, 2006
  3. D. Kahaner, C.Moler, S.Nash Numerical methods and software, 1989
  4. R.V. Hamming Numerical methods for scientists and engineers, 1972
  5. M. Abramovitz и I. Stegun Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs and Mathematical Tables, 1973
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