Aproximação de função com análise de regressão
Esta calculadora online utiliza diversos modelos de regressão para aproximação de função desconhecida dada por conjunto de pontos de dados.
O problema da aproximação de função é selecionar a função entre uma classe bem definida que corresponde proximamente ("aproxima") uma função desconhecida alvo.
Esta calculadora use dados de tabela de função alvo em forma de pontos {x, f(x)} para montar diversos modelos de regressão, sendo eles regressão linear, regressão quadrática, regressão cúbica, regressão potencial, regressão logarítmica, regressão hiperbólica, regressão ab-exponencial e regressão exponencial.
Os resultados podem ser comparados utilizando o coeficiente de correlação, coeficiente de determinação, erro relativo médio (erro padrão da regressão) e visualmente, no gráfico. A teoria e as fórmulas são dadas abaixo da calculadora, como de costume.
Regressão linear
Equação:
coeficiente a
coeficiente b
Coeficiente de correlação linear
Coeficiente de determinação
Erro padrão da regressão
Regressão quadrática
Equação:
Sistema de equações para encontrar a, b e c
Coeficiente de correlação
,
onde
Coeficiente de determinação
Erro padrão da regressão
Regressão cúbica
Equação:
Sistema de equações para encontrar a, b, c e d
Coeficiente de correlação, coeficiente de determinação, erro padrão da regressão - as mesmas fórmulas que as da regressão quadrática.
Regressão potencial
Equação:
coeficiente b
coeficiente a
Coeficiente de correlação, coeficiente de determinação, erro padrão da regressão - as mesmas fórmulas acima.
Regressão ab-exponencial
Equação:
coeficiente b
coeficiente a
Coeficiente de correlação, coeficiente de determinação, erro padrão da regressão - os mesmos.
Regressão hiperbólica
Equação:
coeficiente b
coeficiente a
Coeficiente de correlação, coeficiente de determinação, erro padrão da regressão - os mesmos que acima.
Regressão logarítmica
Equação:
coeficiente b
coeficiente a
Coeficiente de correlação, coeficiente de determinação, erro padrão da regressão - os mesmos que acima.
Regressão exponencial
Equação:
coeficiente b
coeficiente a
Coeficiente de correlação, coeficiente de determinação, erro padrão da regressão - os mesmos que acima.
Derivação das fórmulas
Vamos começar a partir do problema:
Temos uma função desconhecida y=f(x), dada em forma de tabela de dados (por exemplo, aquelas obtidas a partir de experimentos).
Precisamos achar a função com tipo conhecido (linear, quadrática, etc.) y=F(x), esses valores devem as tão próximos quanto possível dos valores da tabela nos mesmos pontos. Na prática, o tipo de função é determinado por comparar visualmente os pontos da tabela a gráficos de funções conhecidas.
Como resultado, devemos ter a fórmula y=F(x), chamada fórmula empírica (equação de regressão, aproximação de função), a qual permite calcular y para os x's não presentes na tabela. Por isso, a fórmula espírica "suaviza" os valores de y.
Utilizamos Método dos Mínimos Quadrados para obter os parâmetros de F que melhor se encaixem. A melhor correspondência no sentido do método dos mínimos quadrados minimiza a soma de residuais quadrados, um residual sendo a diferença entre o valor observado e o valor de encaixe fornecido por um modelo.
Portanto, precisamos encontrar a função F, já que a soma dos residuais quadrados S será mínima
Vamos descrever a solução para este problema usando a regressão linear F=ax+b como exemplo.
Precisamos encontrar o melhor encaixe pra os coeficientes a e b, então
S é a função de a e b. Para encontrar o mínimo, precisamos encontrar os pontos extremos, onde as derivadas parciais são iguais a zero.
Utilizando a fórmula de derivadas de função complexa, nós chegamos às seguintes equações
Para a função , as derivadas parciais são
,
Expandindo as primeiras fórmulas com as derivadas parciais, nós teremos as seguintes equações
Após remover os colchetes, teremos o seguinte
A partir dessas equações, nós teremos fórmulas para a e b, que serão iguais às fórmulas listadas acima.
Usando a mesma técnica, nós podemos ter fórmulas para todas as regressões restantes
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