Calculadora online: Ângulo da rota e a distância entre os dois pontos no loxódromo (linha loxodrômica).

No século XVI, o geógrafo flamengo Gerhard Mercator elaborou um mapa de navegação do mundo, representando a superfície da Terra em um plano para que os ângulos do mapa não fossem distorcidos.
Atualmente, este método de imagem da Terra é conhecido como projeção cilíndrica de Mercator. Este mapa foi muito conveniente para os navegantes, pois para ir do ponto A ao ponto B no mapa de Mercator basta traçar uma linha reta entre esses pontos, medir seu ângulo com o meridiano e aderir constantemente a esta direção, por exemplo, utilizando um sextante e uma estrela polar como ponto de referência ou utilizando uma bússola magnética (na verdade, não é tão simples com a bússola, pois nem sempre ela aponta para o norte verdadeiro).
A projeção de Mercator ainda é vastamente usada para mapas de navegação.

Até os antigos navegantes notaram que a linha loxodrômica nem sempre é o caminho mais curto entre os dois pontos e isso é evidente nas longas distâncias. Se você traçar uma linha no globo, cruzando todos os meridianos no mesmo ângulo, ficará claro por que isso está acontecendo. A linha reta no mapa de Mercator transforma o globo em uma espiral que gira infinitamente até os pólos. Essa linha é chamada de loxodrômica.
A calculadora a seguir calcula o ângulo da rota e a distância de travessia transatlântica de Las Palmas (Espanha) a Bridgetown (Barbados) no loxódromo. A distância resultante é diferente em dezenas de quilômetros do caminho mais curto (veja a Calculadora de distância)

Para o cálculo do ângulo da rota, as seguintes fórmulas são usadas:
$\alpha = \arctan \left(\frac{{\Delta}\lambda}{{\ln\left(tan(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi_2}{2})\cdot\left[\frac{1-e\cdot \sin{\varphi_2}}{1+e\cdot \sin{\varphi_2}}\right]^{\frac{e}{2}}\right)}-{\ln\left(tan(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi_1}{2})\cdot\left[\frac{1-e\cdot \sin{\varphi_1}}{1+e\cdot \sin{\varphi_1}}\right]^{\frac{e}{2}}\right)}}\right)$ ¹
onde
$\Delta}\lambda = \begin{cases}\lambda_2-\lambda_1 &{\text{if }} |\lambda_2-\lambda_1|\leq180\textdegree\\360\textdegree+\lambda_2-\lambda_1 &{\text{if }} \lambda_2-\lambda_1{<}-180\textdegree\\\lambda_2-\lambda_1-360\textdegree &{\text{if }} \lambda_2-\lambda_1{>}180\textdegree\end{cases}$ ²
O comprimento do loxódromo é calculado pela fórmula a seguir:
$S=a\cdot\sec\alpha\left[\left(1-\frac{1}{4}e^2\right)\Delta\varphi-\frac{3}{8}e^2(\sin{2\varphi_2}-\sin{2\varphi_1})\right]$ ³

onde $\varphi_1,\lambda_1$ - latitude e longitude do primeiro ponto
$\varphi_2,\lambda_2$ - latitude e longitude do segundo ponto
$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ - a excentricidade do esferoide (a - o comprimento do semieixo maior, b - o comprimento do semi eixo menor)

Nos ângulos de 90° ou 270°, para o cálculo do comprimento do arco foi utilizada a seguinte fórmula
$S=a\cdot|\lambda_2-\lambda_1|\cdot\cos\left(\varphi\right)$