Teorema de Bayes

Esta calculadora online calcula probabilidades posteriores conforme o teorema de Bayes.

Esta calculadora online calcula probabilidades posteriores conforme o teorema de Bayes. Ela pode ser usada para solucionar os problemas do teorema de Bayes. Para usá-la, você precisa inserir a configuração da "árvore de probabilidade". Abaixo da calculadora, você pode encontrar exemplos de como fazer isso, assim como recapitulação da teoria.

PLANETCALC, Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

Tabela de probabilidades

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Árvore de probabilidade
 
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Recapitulação da teoria

Para uma rápida recapitulação da teoria, nós precisamos de algumas fórmulas.

Definição: A probabilidade condicional de um evento A, dado que o evento B ocorreu, é definida como
P(A/B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}, dado que P(B)>0

Definição: Dois eventos são chamados de independentes se e somente se P(A \cap B)=P(A) P(B).

Definição: Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se A \cap B= \emptyset e são chamados de possíveis se P(A) \not= 0 \not= P(B)

Teorema: Dois eventos mutuamente exclusivos possíveis são sempre dependentes (ou seja, não independentes).

Teorema: Dois eventos independentes possíveis não são mutuamente exclusivos.

Definição: Seja S um conjunto e seja \mathcal P = \{A_i\}_{i=1}^{m} uma coleção de subconjuntos de S. A coleção \mathcal P é chamada de partição de S se
S=\bigcup_{i=1}^{m} A_i \\ A_i \cap A_j = \emptyset,
para i \not= j

Teorema: Se os eventos \{B_i\}_{i=1}^{m} constituem uma partição do espaço amostral S e P(B_i) \not= 0 para i = 1, 2, ...,m, então para qualquer evento A em S
P(A)=\sum_{i=1}^{m} P(B_i)P(A/B_i)

Teorema: Se os eventos \{B_i\}_{i=1}^{m} constituem uma partição do espaço amostral S e P(B_i) \not= 0 para i = 1, 2, ...,m, então para qualquer evento A em S tal que P(A) \not= 0,
P(B_{k}/A)=\frac{P(B_{k}) P(A/B_{k})}{\sum_{i=1}^{m} P(B_i)P(A/B_i)}

Este teorema é chamado de Teorema de Bayes. P(B_{k}) é chamado de probabilidade anterior, P(B_{k}/A) é chamado de probabilidade posterior.

Em teoria de probabilidade e estatística, o teorema de Bayes (também conhecido como lei de Bayes ou regra de Bayes) lida com as chamadas probabilidades condicionais reversas. Ele descreve a probabilidade de um evento baseado no conhecimento prévio das condições relacionadas ao evento.

É útil quando temos um processo de dois estágios e só podemos acessar os resultados do segundo estágio enquanto o primeiro estágio ainda está oculto. Com o teorema de Bayes, podemos prever esse primeiro estágio oculto. Considere este exemplo da wikipédia:

Exemplo

Problema: Suponha que um teste para usar uma determinada droga seja 99% sensível e 99% específico. O teste irá produzir 99% de resultados positivos verdadeiros para usuários de drogas e 99% de resultados negativos verdadeiros para não usuários de drogas. Suponha que 0,5% das pessoas sejam usuárias da droga. Qual a probabilidade de que um indivíduo selecionado aleatoriamente com um teste positivo seja um usuário?

Como usar a calculadora:

  1. Selecione os dados padrão na tabela e exclua-os (clique na caixa de seleção superior para selecionar todos e, em seguida, clique no ícone "compartimento" no cabeçalho da tabela).
  2. Adicione a configuração da árvore de probabilidade.

Em seguida, você obterá a tabela com todas as probabilidades condicionais reversas. A linha que diz Probabilidade de 'Usuário' dado que 'Teste positivo' ocorreu é a resposta, e é 0,3322.

Mostre-me

Portanto, não estamos realmente interessados ​​no resultado do segundo estágio - o resultado do teste, mas estamos interessados ​​no resultado do primeiro estágio - é um usuário individual ou não. E o teorema de Bayes nos fornece uma resposta - há apenas 0,3322 de probabilidade. Por quê? Mesmo que o teste pareça ser altamente preciso, o número de não usuários é grande em comparação ao número de usuários. O número de falsos positivos supera o número de verdadeiros positivos.

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