Distância através da Terra

Esta calculadora calcula a distância de um ponto da Terra a outro ponto, passando por dentro Terra, em vez de cruzar a superfície.

Se você deseja medir a distância de um ponto a outro na Terra, deve utilizar a fórmula do o grande círculo ou distância ortodrômica. Inclusive, temos duas calculadoras para isso: uma que usa a fórmula de haversine, e outra, que usa a fórmula de Vincenty.

Entretanto, e se você deseja saber a distância entre dois pontos na Terra através da Terra, não cruzando a superfície? Acontece que o problema é relativamente simples, exceto por algumas pegadinhas. A calculadora a seguir encontra a distância entre dois pontos por dentro da Terra, e a derivação da fórmula com todas as pegadinhas pode ser encontrada abaixo da calculadora.

PLANETCALC, Distância através da Terra

Distância através da Terra

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Dígitos após o ponto decimal: 3
Distância, km
 

Distância através da Terra

Ok, temos dois pontos na superfície da Terra, definidos por sua latitude e longitude, e queremos saber a distância entre eles passando "através" da Terra em vez de ao redor dela. Tecnicamente, temos as coordenadas esféricas de cada ponto no espaço tridimensional porque sabemos o raio da Terra, o ângulo de inclinação (latitude) e o ângulo de azimute (longitude). Se as convertermos em coordenadas cartesianas, com x, y, z no espaço tridimensional, podemos encontrar com facilidade a distância fazendo o uso da conhecida fórmula da distância Euclidiana:
D=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}

Então, vamos definir nosso sistema de coordenadas cartesiano. A origem será o centro da Terra. O eixo x apontará para a interseção do meridiano zero com o plano do Equador. O eixo y apontará para a interseção do meridiano Oeste de 90 graus com o plano do Equador, e o eixo z apontará para o Norte.

Sistema de coordenadas cartesiano
Sistema de coordenadas cartesiano

Legenda da imagem:
North: Norte
South: Sul
East: Leste
West: Oeste

\phi é a nossa longitude, \theta é a nossa latitude.

As coordenadas cartesianas podem ser obtidas a partir de coordenadas esféricas usando as relações a seguir:
x=R\, cos \theta \, cos \phi \\ y=R\, cos \theta \, sin \phi \\ z=R\, sin \theta

Estamos quase acabando, mas ainda precisamos considerar alguns fatores, que surgem porque, na geodésia, a Terra é aproximada com esferoide oblato ou elipsoide de revolução. Sendo assim, quando falamos sobre coordenadas, falamos sobre coordenadas na superfície do elipsoide de referência utilizado no datum geodésico, neste caso, WGS 84 (portanto, a distância também é medida entre dois pontos do elipsoide de referência). Os fatores são:

Pelo fato da Terra ser achatada nos polos e protuberante no equador, o raio da Terra não é constante e depende da latitude do ponto. Sendo assim, precisamos calculá-lo para ambos os pontos, tarefa que pode ser feita com esta calculadora.

A latitude WGS 84 de um ponto é a latitude geodésica, determinada pelo ângulo entre o plano equatorial e normal ao elipsoide, em vez da latitude geocêntrica, que é determinada pelo ângulo entre o plano equatorial e a linha que une o ponto ao centro do elipsoide. Dado que a origem do nosso sistema cartesiano é o centro da Terra, precisamos converter a latitude geodésica em latitude geocêntrica para ambos os pontos.

Levamos em consideração aqueles que usam estas fórmulas:
tan(\alpha)=\frac{b}{a}tan(\beta) \\ R =\sqrt{\frac{ (a^2cos(\beta))^2+(b^2sin(\beta))^2}{(a\,cos(\beta))^2+(b\,sin(\beta))^2}},
onde \alpha é a latitude geocêntrica, \beta é a latitude geodésica, a - semi-eixo maior do elipsoide, b - semi-eixo menor do elipsoide.

Em resumo, para calcular a distância, devemos fazer o seguinte:

  • Calcular o raio da Terra em cada ponto
  • Calcular a latitude geocêntrica em cada ponto
  • Converter as coordenadas esféricas de cada ponto em coordenadas cartesianas, do raio calculado, latitude geocêntrica e longitude para x, y, z.
  • Calcular a distância utilizando a fórmula da distância Euclidiana
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