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Função de Autocorrelação de Série Temporal (ACF)

Esta calculadora online calcula a função de autocorrelação para determinada série temporal e plota o correlograma

Autocorrelação, também conhecida como correlação serial, é a correlação de um sinal com uma cópia atrasada de si mesmo como função do atraso. Informalmente, é a similaridade entre as observações em função do atraso de tempo entre elas. A análise de autocorrelação é uma ferramenta matemática para encontrar padrões repetitivos, como a presença de um sinal periódico obscurecido por ruído ou a identificação da frequência fundamental ausente em um sinal implicado por suas frequências harmônicas. É frequentemente utilizada no processamento de sinais para analisar funções ou séries de valores, como sinais no domínio do tempo.

Em estatística, a autocorrelação de um processo aleatório é a correlação de Pearson entre os valores do processo em tempos diferentes, em função dos dois tempos ou do atraso de tempo. 1

O coeficiente de correlação de Pearson de amostra entre x e y é:
r=\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \bar x)(y_i- \bar y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \bar x)^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{N}(y_i - \bar y)^2}}

Para autocorrelação, esse coeficiente é calculado entre a série temporal e a mesma série temporal defasada por um número especificado de períodos. Por exemplo, para o atraso de tempo de 1 período, o coeficiente de correlação é calculado entre os primeiros valores N-1, ou seja, x_1, ..., x_{N-1} e os próximos valores N-1 (valores deslocados em um), ou seja, x_2, ..., x_N.
r_1=\frac{\sum_{i=1}^{N-1}(x_i - \bar{x}_{(1)})(x_{i+1}- \bar{x}_{(2)})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{N-1}(x_i - \bar{x}_{(2)})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{N-1}(x_{i+1} - \bar{x}_{(2)})^2}},
onde \bar{x}_{(1)} é a média dos primeiros valores N-1, e \bar{x}_{(2)} é a média dos últimos valores N-1.

Se ignorarmos a diferença entre \bar{x}_{(1)} e \bar{x}_{(2)}, conseguimos simplificar a fórmula acima para
r_1=\frac{\sum_{i=1}^{N-1}(x_i - \bar{x})(x_{i+1}- \bar{x})}{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \bar{x})^2}

Isso pode ser generalizado para valores separados por k períodos como:
r_k=\frac{\sum_{i=1}^{N-k}(x_i - \bar{x})(x_{i+k}- \bar{x})}{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \bar{x})^2}

O valor de r_k é chamado de coeficiente de autocorrelação no lag k. O gráfico das autocorrelações de amostra r_k versus k (os atrasos de tempo) é chamado de correlograma ou gráfico de autocorrelação.

O correlograma é uma ferramenta comumente utilizada para verificar a aleatoriedade em um conjunto de dados. As autocorrelações de computação determinam essa aleatoriedade para valores de dados em atrasos de tempo variáveis. Se aleatórias, tais autocorrelações devem ser próximas de zero para todas as separações de atraso de tempo. Se não for aleatório, então uma ou mais das autocorrelações serão significativamente diferentes de zero.

Além disso, correlogramas são usados ​​no estágio de identificação do modelo para modelos de séries temporais de média móvel autorregressiva de Box–Jenkins. As autocorrelações devem ser próximas de zero para aleatoriedade; se o analista não verifica a aleatoriedade, então a validade de muitas das conclusões estatísticas torna-se suspeita. O correlograma é uma excelente forma de verificar tal aleatoriedade.2

Os dados padrão para a calculadora a seguir são obtidos através da função seno de ruído utilizando Gerador de função ruidosa, e claramente você pode ver um padrão não aleatório.

PLANETCALC, Função de Autocorrelação de Série Temporal

Função de Autocorrelação de Série Temporal

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