Números complexos

A calculadora exibe o número complexo e seu conjugado no plano complexo, avalia o valor absoluto do número complexo e o valor principal do argumento. Ela também demonstra operações elementares em números complexos.

A partir do Século XVI, matemáticos encararam a necessidade de números especiais, conhecidos hoje em dia como números complexos. O número complexo é um número da forma a+bi, onde a,b — números reais, i — a unidade imaginária é uma solução para a equação: i2=-1.

É interessante traçar a evolução das opiniões matemáticas nos problemas de números complexos. Aqui estão algumas citações de trabalhos antigos neste tópico:

  • Século XVI: Então progride a sutileza aritmética
    onde no fim da qual... está tão refinada quanto inútil. 1
  • Século XVII: O milagre da análise, esta maravilha do mundo das ideias, um objeto quase anfíbio entre o Ser e o Não-Ser que podemos chamar de número imaginário. 2
  • Século XVIII: As raízes quadradas dos números negativos não são iguais a zero, elas não são menores que zero, elas não são maiores que zero. As raízes quadradas dos números negativos não podem pertencer aos números reais, então elas são números irreais. Esta circunstância nos faz pensar que os números, que são inerentemente impossíveis e são geralmente chamados de imaginários, porque apenas na mente é possível serem imaginados. 3
  • Século XIX: Ninguém questiona a exatidão dos resultados que obtivemos através do cálculo de quantias imaginárias, embora eles sejam apenas formas algébricas e os hieroglifos de quantias irreais. 4

São usadas diversas maneiras para definir o número complexo. Mostraremos três delas

Forma algébrica

z = a + bi,
onde a e b - números reais, i - unidade imaginária, logo i2=-1. a - corresponde a parte real, b - parte imaginária.

Forma polar

z = r (\cos \vaphi +i \sin \varphi),
onde r - valor absoluto do número complexo:
r = |z| =\sqrt{a^2+b^2}
é uma distância entre o ponto 0 e o ponto complexo no plano complexo, e φ é um ângulo entre o eixo real positivo e o vetor complexo (argumento).

Forma exponencial (forma de Euler)

z = r e^{i\varphi} é uma versão simplificada da forma polar seguida da fórmula de Euler.

PLANETCALC, Número complexo

Número complexo

Dígitos após o ponto decimal: 2
Em forma polar
 
Em forma de Euler
 
Número complexo
 
Valor absoluto
 
Valor principal do argumento (rad)
 
Valor principal do argumento (graus)
 
Conjugado
 
Plano complexo
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O argumento do número complexo é uma função multivalor arg(z)=\varphi+2\pi{k}, para o número inteiro k. O valor principal do argumento é um valor único no período aberto (-π..π].
O valor principal pode ser calculadora a partir da forma algébrica utilizando a fórmula abaixo:
\varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right)&{\text{se }}x>0\\\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{se }}x<0{\text{ e }}y\geq 0\\\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{se }}x<0{\text{ e }}y<0\\{\dfrac {\pi }{2}}&{\text{se }}x=0{\text{ e }}y>0\\-{\dfrac {\pi }{2}}&{\text{se }}x=0{\text{ e }}y<0\\{\text{indeterminado }}&{\text{se }}x=0{\text{ e }}y=0.\end{cases}}
Este algoritmo é implementado em função javascript Math.atan2.

Todas as operações aritméticas elementares são definidas por números complexos:

PLANETCALC, Operações elementares do número complexo

Operações elementares do número complexo

Dígitos após o ponto decimal: 2
Resultado (z)
 
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Adição de números complexos

Um número complexo pode ser somado com outro da mesma maneira que polinômios:
 z_1+z_2 = (a_1+a_2)+(b_1+b_2)i

Multiplicação de números complexos

Usando a definição de números complexos i*i=-1, podemos facilmente elaborar uma fórmula de multiplicação de números complexos:
 z_1 \dot z_2 = ({a_1}{a_2}-{b_1}{b_2}) + ({a_1}{b_2}+{a_2}{b_1})i

Divisão de números complexos

Para derivar a fórmula de divisão de números complexos, multiplicados ambos o numerador e o denominador pelo conjugado do número complexo (para eliminar a unidade imaginária no denominador):
\frac{z_1}{z_2}=\frac{{z_1}\overline {z_2}}{{z_2}\overline {z_2}}
O conjugado é definido como:
\overline z = a-b i
Então, a versão final da fórmula é:
\frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2}+\frac{b_1a_2-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}i

Exponenciação de números complexos

Usando a forma de Euler, se torna bem simples:
z^n=r^ne^{{i}{n}\phi}
Esta fórmula é derivada da fórmula de De Moivre:
{\big (}\cos(x)+i\sin(x){\big )}^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)

raiz de n-º

A partir da fórmula de De Moivre, n nª raízes de z (a potência de 1/n) são dadas por:
\sqrt[n]{z} = r^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}}\right),
há n raízes, onde k = 0..n-1 - o índice do número inteiro da raiz. As raízes podem ser exibidas no plano complexo como vértices esquerdos do polígono.


  1. G. Cardano, A Grande Arte, ou As Regras da Álgebra, (1539) 

  2. G. Leibniz, (de acordo com a Wikipédia) 

  3. L. Euler, Aritmética universal, (1768) § 142-143 

  4. L. Carnot, Reflexões sobre os princípios metafísicos da análise infinitesimal (1797) Tr. por W.R. Brownell p. 104 

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