Encontre a intersecção de dois círculos

Esta calculadora online encontra os pontos de intersecção de dois círculos, dados o ponto central e o raio de cada círculo. Ela também os plota no gráfico.

Para usar a calculadora, insira as coordenadas x e y do centro e do raio de cada círculo.

Um pouco de teoria pode ser encontrada abaixo da calculadora.

PLANETCALC, Intersecção de dois círculos

Intersecção de dois círculos

Primeiro Círculo

Segundo Círculo

Dígitos após o ponto decimal: 2
Análise de distância
 
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Intersecção de círculos

A tarefa é relativamente fácil, mas devemos levar em consideração os casos extremos – por isso, devemos começar calculando a distância cartesiana d entre dois pontos centrais e verificando os casos extremos por meio da comparação de d com os raios r1 e r2.

Aqui estão os casos possíveis (a distância entre os centros é mostrada em vermelho):

Caso Descrição Regra
Caso trivial: os círculos são coincidentes (ou é o mesmo círculo) d = 0, r1 = r2

separate.png

Os círculos são separados d > r1 + r2

contained.png

Um círculo está contido no outro d < abs(r1 - r2)

twopoints.png

twopoints2.png

Dois pontos de intersecção Você tem um ou dois pontos de intersecção caso todas as regras para os casos extremos acima não forem aplicadas

onepoint.png

onepoint2.png

Um ponto de intersecção Caso trivial de dois pontos de intersecção

Portanto, se não for um caso extremo, para encontrar os dois pontos de intersecção, a calculadora utiliza as seguintes fórmulas (majoritariamente deduzidas com o teorema de Pitágoras), ilustradas com o gráfico abaixo:

Dois pontos de intersecção
Dois pontos de intersecção

A primeira calculadora encontra o segmento a
a=\frac{r^2_1-r^2_2+d^2}{2d}
e então o segmento h
h=\sqrt{r^2_1-a^2}

Para encontrar o ponto P3, a calculadora utiliza a seguinte fórmula (na forma vetorial):
P3=P1 + \frac{a}{d}(P2-P1)

E, finalmente, para obter um par de pontos em caso de intersecção de dois pontos, a calculadora usa as seguintes equações:
Primeiro ponto:
x_4=x_3+\frac{h}{d}(y_2-y_1)\\y_4=y_3-\frac{h}{d}(x2-x_1)
Segundo ponto:
x_4=x_3-\frac{h}{d}(y_2-y_1)\\y_4=y_3+\frac{h}{d}(x2-x_1)
Observe os sinais opostos antes do segundo adendo

Para obter informações, você pode consultar Intersecção Círculo e Círculo e Círculos e esferas

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