O discriminante

Esta calculadora online calcula o discriminante do polinomio quadrático assim como polinomiais de alto grau.

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Criado: 2020-06-16 22:14:16, Ultima atualização: 2020-11-03 14:19:39
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Em álgebra, o discriminante de um polinomial é uma função polinomial de seus coeficientes, que permite deduzir algumas propriedades das raízes sem computá-las.1

Você provavelmente está ciente da fórmula conhecida do discriminante para polinomial quadrático ax^2+bx+c, que é b^2-4ac e usa esta fórmula para computar as raízes.

Entretanto, o discriminante na verdade nos permite deduzir algumas das propriedades das raízes sem computá-las. No caso do polinomial quadrático, é zero se e apenas se o polinomial tem uma raíz dupla, ele é positivo se o polinomial tem duas raízes reais, e ele é negativo se as raízes forem complexas.

A calculadora abaixo computa o discriminante e você pode encontrar um pouco mais de teoria sobre os discriminantes logo abaixo.

PLANETCALC, O discriminante de um polinomial quadrático

O discriminante de um polinomial quadrático

Polinomial quadrático
 
Discriminante
 
Raízes polinomiais
 

Discriminante

O discriminante para um polinomial de grau n: A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0} pode ser definido ou em termos do quociente do resultado ou em termos das raízes.

Em termos das raízes, o discriminante é igual a
{Disc}_{x}(A)={a_n}^{2n-2}\prod_{i < j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{{\frac{1}{2}}n(n-1)}{a_n}^{2n-2}\prod_{i\neq j}(r_{i}-r_{j})

Tecnicamente, é possível derivar a fórmula para a equação quadrática sem saber qualquer coisa sobre o discriminante. E então, se você conectar as expressões derivadas das raízes à definição acima, você terminará com a b^2-4ac.

Em termos do quociente do resultado, o discriminante é igual a
{Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')
onde Res é o resultante de A e a primeira derivação de A'. O resultante, em resumo é o determinante da Matriz de Sylvester de A e A'.

No caso de o polinomial quadrático, A é ax^2+bx+c e A' é 2ax+b. Se você, de fato,escrever a matriz de Sylvester para esses dois polinomiais e derivar o determinante, você novamente terminará com a b^2-4ac.

Computação do discriminante de maior grau

Utilizando a segunda definição, você pode derivar as fórmulas para polinomial de maiores graus (o link abaixo tem fórmulas para grau 3 e grau 4), porém elas são bem complexas.
A sequência OEIS A007878 lista 5 termos para polinomiais de grau 3, 16 termos para grau 4, 59 termos para grau 5,e finalmente 3815311 termos para polinomiais de grau 12.
A calculadora abaixo computa o discriminante de um polinomial de maior grau a partir do resultante de um polinomial e seu derivado

PLANETCALC, Discriminante

Discriminante

Coeficientes polinomiais de dividendos, separados por espaço, em ordem de grau de termo superior para inferior
Discriminante
 
Polinômio de entrada
 
Polinômio derivado
 

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PLANETCALC, O discriminante

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