O discriminante
Esta calculadora online calcula o discriminante do polinomio quadrático assim como polinomiais de alto grau.

Este conteúdo é licenciado de acordo com a Licença Creative Commons de Atribuição/CompartilhaIgual 3.0 (Unported). Isso significa que você pode redistribuir ou modificar livremente este conteúdo sob as mesmas condições de licença e precisa atribuir ao autor original colocando um hyperlink para este trabalho no seu site. Além disto, favor não modificar qualquer referência ao trabalho original (caso houver) que estiverem contidas neste conteúdo.
Em álgebra, o discriminante de um polinomial é uma função polinomial de seus coeficientes, que permite deduzir algumas propriedades das raízes sem computá-las.1
Você provavelmente está ciente da fórmula conhecida do discriminante para polinomial quadrático , que é
e usa esta fórmula para computar as raízes.
Entretanto, o discriminante na verdade nos permite deduzir algumas das propriedades das raízes sem computá-las. No caso do polinomial quadrático, é zero se e apenas se o polinomial tem uma raíz dupla, ele é positivo se o polinomial tem duas raízes reais, e ele é negativo se as raízes forem complexas.
A calculadora abaixo computa o discriminante e você pode encontrar um pouco mais de teoria sobre os discriminantes logo abaixo.
Discriminante
O discriminante para um polinomial de grau n: pode ser definido ou em termos do quociente do resultado ou em termos das raízes.
Em termos das raízes, o discriminante é igual a
Tecnicamente, é possível derivar a fórmula para a equação quadrática sem saber qualquer coisa sobre o discriminante. E então, se você conectar as expressões derivadas das raízes à definição acima, você terminará com a .
Em termos do quociente do resultado, o discriminante é igual a
onde Res é o resultante de A e a primeira derivação de A'. O resultante, em resumo é o determinante da Matriz de Sylvester de A e A'.
No caso de o polinomial quadrático, A é e A' é
. Se você, de fato,escrever a matriz de Sylvester para esses dois polinomiais e derivar o determinante, você novamente terminará com a
.
Computação do discriminante de maior grau
Utilizando a segunda definição, você pode derivar as fórmulas para polinomial de maiores graus (o link abaixo tem fórmulas para grau 3 e grau 4), porém elas são bem complexas.
A sequência OEIS A007878 lista 5 termos para polinomiais de grau 3, 16 termos para grau 4, 59 termos para grau 5,e finalmente 3815311 termos para polinomiais de grau 12.
A calculadora abaixo computa o discriminante de um polinomial de maior grau a partir do resultante de um polinomial e seu derivado
Comentários