Polinômio característico

Esta calculadora online calcula coeficientes de polinômios característicos de uma matriz quadrada utilizando o algoritmo de Faddeev–LeVerrier

Na álgebra linear, o polinômio característico de uma matriz quadrada n×n A é um polinômio invariante sob a similaridade da matriz e possui os autovalores como raízes. O polinômio pA(λ) é mônico (seu coeficiente líder é 1) e seu grau é n. A calculadora abaixo calcula os coeficientes de um polinômio característico de uma matriz quadrada usando o algoritmo de Faddeev–LeVerrier. Você pode encontrar teoria e fórmulas abaixo da calculadora.

PLANETCALC, Polinômio característico

Polinômio característico

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Polinômio característico

Dada uma matriz quadrada A, queremos encontrar um polinômio cujos zeros são os autovalores de A. Para uma matriz diagonal A, o polinômio característico é fácil de definir: se as entradas diagonais são a1, a2, a3, etc., então o polinômio característico será:

(t-a_1)(t-a_2)(t-a_3)\cdots,

Isso funciona porque as entradas diagonais também são os autovalores dessa matriz.

Para uma matriz geral A, pode-se proceder da seguinte forma. Um escalar λ é um autovalor de A se, e somente se, houver um autovetor v ≠ 0 tal que

A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v},

ou

(\lambda I - A)\mathbf{v} = 0\,

(onde I é a matriz de identidade).

Visto que v é diferente de zero, a matriz λ I − A é singular (não inversível), o que significa que seu determinante é 0. Dessa forma, as raízes da função det(λ I − A) são os autovalores de A, e está claro que este determinante é um polinômio em λ.1

Na forma de matriz, o polinômio em λ se parece com isto:

p(\lambda)=det \begin{bmatrix}\lambda - a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&\lambda - a_{22}&\dots &a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &\lambda - a_{nn}\end{bmatrix}

Em forma escalar

p(\lambda )\equiv \det(\lambda I_{n}-A)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda ^{k}~,

onde, cn = 1 e c0 = (−1)n det A.

Os coeficientes podem ser encontrados utilizando o algoritmo recursivo de Faddeev–LeVerrier (publicado pela primeira vez em 1840 por Urbain Le Verrier, e desenvolvido na forma atual novamente por Dmitry Konstantinovich Faddeev e outros).

Algoritmo de Faddeev–LeVerrier

Os coeficientes do polinômio característico são determinados recursivamente de cima para baixo, por força das matrizes auxiliares M2,

{\begin{aligned}M_{0}&\equiv 0&c_{n}&=1\qquad &(k=0)\\M_{k}&\equiv AM_{k-1}+c_{n-k+1}I\qquad \qquad &c_{n-k}&=-{\frac {1}{k}}\mathrm {tr} (AM_{k})\qquad &k=1,\ldots ,n~.\end{aligned}}

Portanto,

{\displaystyle M_{1}=I~, \quad c_{n-1}=-\mathrm {tr} A=-c_{n}\mathrm {tr} A;} \\{\displaystyle M_{2}=A-I\mathrm {tr} A, \\ \quad c_{n-2}=-{\frac {1}{2}}{\Bigl (}\mathrm {tr} A^{2}-(\mathrm {tr} A)^{2}{\Bigr )}=-{\frac {1}{2}}(c_{n}\mathrm {tr} A^{2}+c_{n-1}\mathrm {tr} A);} \\{\displaystyle M_{3}=A^{2}-A\mathrm {tr} A-{\frac {1}{2}}{\Bigl (}\mathrm {tr} A^{2}-(\mathrm {tr} A)^{2}{\Bigr )}I,} \\{\displaystyle c_{n-3}=-{\tfrac {1}{6}}{\Bigl (}(\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3}){\Bigr )}=-{\frac {1}{3}}(c_{n}\mathrm {tr} A^{3}+c_{n-1}\mathrm {tr} A^{2}+c_{n-2}\mathrm {tr} A);}

etc.,

{\displaystyle M_{m}=\sum _{k=1}^{m}c_{n-m+k}A^{k-1}~,} \\{\displaystyle c_{n-m}=-{\frac {1}{m}}(c_{n}\mathrm {tr} A^{m}+c_{n-1}\mathrm {tr} A^{m-1}+...+c_{n-m+1}\mathrm {tr} A)=-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{n-m+k}\mathrm {tr} A^{k}~;...}

A calculadora usa esse algoritmo para calcular os coeficientes. Ela também consegue gerar a matriz auxiliar M para cada etapa.

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