Calculadora de autovalor

Esta calculadora online calcula os autovalores de uma matriz quadrada até o quarto grau, através da solução de equação característica.

Esta calculadora online calcula os autovalores de uma matriz quadrada através da solução de equação característica. A equação característica é a equação obtida igualando o polinômio característico a zero. Portanto, primeiramente esta calculadora obtém a equação característica utilizando a calculadora de Polinômio característico, e, em seguida, a resolve de maneira analítica para obter os autovalores (reais ou complexos). Ela faz isso apenas para matrizes 2x2, 3x3 e 4x4, usando as calculadoras A solução de uma equação quadrática, Equação cúbica e Solução de equação quártica. Dessa forma, ele pode encontrar autovalores de uma matriz quadrada até o quarto grau.

É muito improvável que você tenha uma matriz quadrada de um grau superior em problemas matemáticos, pois, conforme o teorema de Abel–Ruffini, uma equação polinomial geral de grau cinco, ou superior, não possui solução em radicais, portanto, consegue ser resolvida apenas por métodos numéricos. (Observe que o grau de um polinômio característico é o grau de sua matriz quadrada). Mais teoria pode ser encontrada abaixo da calculadora.

PLANETCALC, Calculadora de Autovalor

Calculadora de Autovalor

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Equação característica
 
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Autovalores

Os autovalores são mais fáceis de explicar com autovetores. Suponha que temos uma matriz quadrada A. Esta matriz define uma transformação linear, o que quer dizer que se multiplicarmos qualquer vetor por A, nós obtemos o novo vetor que muda de direção:

Av=b.

Entretanto, existem alguns vetores para os quais essa transformação produz o vetor que é paralelo ao vetor original. Em outras palavras:

Av=\lambda v,

onde \lambda é algum número escalar.

Esses vetores são autovetores de A, e esses números são autovalores de A.

Esta equação pode ser reescrita como

Av-\lambda v=0 \\ (A-\lambda I)v=0

onde I é a matriz de identidade.

Uma vez que v é diferente de zero, a matriz A - \lambda I é singular, o que significa que seu determinante é zero.

det(A-\lambda I)=0 é a equação característica de A, e a sua parte esquerda é chamada de polinômio característico de A.

As raízes desta equação são autovalores de A, também nomeados como valores característicos, ou raízes características.

A equação característica de A é uma equação polinomial, e para obter coeficientes polinomiais você precisa expandir o determinante da matriz

\begin{bmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-\lambda&\dots &a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}-\lambda\end{bmatrix}

Para um caso 2x2, possuímos uma fórmula simples:

\lambda^2-trA \lambda+detA=0,

onde trA é o traço de A (soma de seus elementos diagonais) e detA é o determinante de A. Isso é

\lambda^2-(a_{11}+a_{22})\lambda+(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})=0,

Para outros casos, você pode usar o algoritmo de Faddeev–LeVerrier como é feito na calculadora de Polinômio característico.

Uma vez que você obtiver a equação característica na forma polinomial, você pode resolvê-la para autovalores. E aqui você pode encontrar uma excelente introdução sobre porque sempre nos preocupamos em encontrar autovalores e autovetores, e, porque eles são conceitos muito importantes em álgebra linear.

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