Calculadora de autovalor
Esta calculadora online calcula os autovalores de uma matriz quadrada até o quarto grau, através da solução de equação característica.
Esta calculadora online calcula os autovalores de uma matriz quadrada através da solução de equação característica. A equação característica é a equação obtida igualando o polinômio característico a zero. Portanto, primeiramente esta calculadora obtém a equação característica utilizando a calculadora de Polinômio característico, e, em seguida, a resolve de maneira analítica para obter os autovalores (reais ou complexos). Ela faz isso apenas para matrizes 2x2, 3x3 e 4x4, usando as calculadoras A solução de uma equação quadrática, Equação cúbica e Solução de equação quártica. Dessa forma, ele pode encontrar autovalores de uma matriz quadrada até o quarto grau.
É muito improvável que você tenha uma matriz quadrada de um grau superior em problemas matemáticos, pois, conforme o teorema de Abel–Ruffini, uma equação polinomial geral de grau cinco, ou superior, não possui solução em radicais, portanto, consegue ser resolvida apenas por métodos numéricos. (Observe que o grau de um polinômio característico é o grau de sua matriz quadrada). Mais teoria pode ser encontrada abaixo da calculadora.
Autovalores
Os autovalores são mais fáceis de explicar com autovetores. Suponha que temos uma matriz quadrada A. Esta matriz define uma transformação linear, o que quer dizer que se multiplicarmos qualquer vetor por A, nós obtemos o novo vetor que muda de direção:
.
Entretanto, existem alguns vetores para os quais essa transformação produz o vetor que é paralelo ao vetor original. Em outras palavras:
,
onde é algum número escalar.
Esses vetores são autovetores de A, e esses números são autovalores de A.
Esta equação pode ser reescrita como
onde I é a matriz de identidade.
Uma vez que v é diferente de zero, a matriz é singular, o que significa que seu determinante é zero.
é a equação característica de A, e a sua parte esquerda é chamada de polinômio característico de A.
As raízes desta equação são autovalores de A, também nomeados como valores característicos, ou raízes características.
A equação característica de A é uma equação polinomial, e para obter coeficientes polinomiais você precisa expandir o determinante da matriz
Para um caso 2x2, possuímos uma fórmula simples:
,
onde trA é o traço de A (soma de seus elementos diagonais) e detA é o determinante de A. Isso é
,
Para outros casos, você pode usar o algoritmo de Faddeev–LeVerrier como é feito na calculadora de Polinômio característico.
Uma vez que você obtiver a equação característica na forma polinomial, você pode resolvê-la para autovalores. E aqui você pode encontrar uma excelente introdução sobre porque sempre nos preocupamos em encontrar autovalores e autovetores, e, porque eles são conceitos muito importantes em álgebra linear.
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