Calculadora de Autovetor

Esta calculadora online calcula os autovetores de uma matriz quadrada até o 4º grau.

Esta é a calculadora final complacente com os autovetores e autovalores. A primeiro foi a calculadora do Polinômio característico, que produz uma equação característica adequada para processamento adicional. Segunda calculadora - a Calculadora de Autovalor resolve essa equação para encontrar autovalores (utilizando métodos analíticos, é por isso que funciona apenas até o 4º grau), e a calculadora abaixo calcula autovetores para cada autovalor obtido. Algumas teorias podem ser encontradas abaixo da calculadora.

PLANETCALC, Calculadora de Autovetor

Calculadora de Autovetor

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Como encontrar Autovetores

Deixe-me repetir a definição de autovetores e autovalores da Calculadora de Autovalor.

Existem vetores para os quais a transformação da matriz produz o vetor que é paralelo ao vetor original.

Av=\lambda v,

onde \lambda é algum número escalar.

Esses vetores são chamados de autovetores de A, e esses números são chamados de autovalores de A.

Nós utilizamos a seguinte forma da equação acima: (A-\lambda I)v=0, onde I é a matriz de identidade, para encontrar os autovalores através da solução da equação característica

det(A-\lambda I)=0.

Depois de termos encontrado os autovalores, podemos encontrar os autovetores. Devemos inserir cada autovalor concreto na equação (A-\lambda I)v=0 e resolvê-la para v. Isso significa que simplesmente precisamos resolver o seguinte sistema de equações lineares (em forma de matriz):

\begin{bmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-\lambda&\dots &a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}-\lambda\end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ ... \\ v_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{bmatrix}

Este é um sistema homogêneo de equações lineares e, mais ainda, suas equações NÃO são independentes. Ou seja, o sistema possui infinitas soluções. Isso ocorre porque possuímos uma família de autovetores (incluindo o vetor zero), ou autoespaço, para cada autovalor. Então, quando você é pedido para encontrar autovetores para a matriz, você realmente precisa pegar alguma solução "bonita" para um sistema de equações lineares obtidas para cada autovalor, ou seja, alguns autovetores de amostra possivelmente sem frações e pequenos inteiros positivos.

Geralmente, o autovalor produz um sistema homogêneo com uma variável independente. Entretanto, alguns casos têm autovalor com multiplicidade maior que 1 (por exemplo, em caso de raízes duplas). Em tais casos, um sistema homogêneo terá mais de uma variável independente, e você terá vários autovetores linearmente independentes associados a tal autovalor - um para cada variável independente.

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PLANETCALC, Calculadora de Autovetor

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