O número racional como uma fração

Quando você começa a aprender sobre sequências geométricas, você pode se deparar com um problema formulado da seguinte forma:

Escreva o número racional 0.58333... como a proporção de dois números inteiros.

É claro, neste problema de exemplo, somos requisitados a converter um decimal repetido em uma fração. Na verdade, a solução para este problema requer a fórmula para as séries geométricas infinitas. Esta calculadora usa esta fórmula para encontrar o numerador e o denominador do decimal repetido fornecido. A solução e as fórmulas estão descritas abaixo da calculadora.

Observe que, no problema acima, o decimal repetido é representado informalmente por reticências (três pontos ...). Na verdade, existem várias convenções de notação para representar decimais repetidos, mas nenhuma delas é aceita universalmente. Por exemplo, nos EUA, a notação é uma linha horizontal (um vínculo) acima dos dígitos repetidos e, em algumas partes da Europa, a notação deve colocar os dígitos repetidos entre parênteses. A calculadora suporta as duas maneiras de inserir o decimal repetido: 0.58333... e 0.58(3)

O número racional como a proporção de dois números inteiros

O número racional

A proporção de dois números inteiros

 

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Decimal repetido

Para citar a Wikipédia,¹ um decimal repetido ou recorrente é uma representação decimal de um número cujos dígitos são periódicos (repetindo seus valores em intervalos regulares) e a porção repetida infinitamente não é zero. A sequência de dígitos repetida infinitamente é chamada de repetido ou reptendo. Se o repetido for zero, essa representação decimal é chamada de decimal de terminação, no lugar de decimal de repetição. Pode ser mostrado que um número é racional se, e somente se, sua representação decimal está se repetindo ou terminando (ou seja, tem uma quantidade finita de dígitos ou começa a repetir uma sequência finita de dígitos). E um número racional, por definição, é qualquer número que pode ser expresso como o quociente ou fração p/q de dois inteiros, um numerador p e um denominador diferente de zero q.

Se tivermos um decimal final, podemos usar Conversor de Fração para Decimal e Decimal para Fração. No caso de um decimal repetido, o cálculo se torna um pouco mais complicado. E aqui temos as sequências geométricas para ajudar. Vamos usar o exemplo acima e converter o número racional (sabemos que é racional porque sua representação decimal está se repetindo) 0.58333... em uma fração usando nosso conhecimento de sequências geométricas.

Vamos apresentar nosso número racional da seguinte forma:

Os números , etc. podem ser pensados como os termos da sequência geométrica, onde o primeiro termo é 0.003, e a razão comum é 0.1.

Na verdade, de acordo com a fórmula para o n-º termo da sequência geométrica: , nós temos

Observe que esses são termos da série geométrica infinita que converge, pois o valor absoluto de uma razão comum é menor que um. A fórmula da soma para a série infinita convergente é

Assim, para o nosso problema, temos

E finalmente,

Podemos adicionar e em seguida simplificar, sabendo que o menor múltiplo comum de 50 e 300 é 300, e o maior divisor comum de 175 e 300 é 25