Método do ponto médio

Esta calculadora online implementa um método de ponto médio direto, também conhecido como método de Euler modificado, que é um método numérico de segunda ordem para solucionar uma equação diferencial de primeiro grau com um determinado valor inicial.

Você pode usar esta calculadora para resolver uma equação diferencial de primeiro grau com um determinado valor inicial utilizando o método do ponto médio explícito também conhecido como Método de Euler modificado.

Para usar este método, você deve ter uma equação diferencial na forma
y \prime = f(x,y)
e inserir o lado direito da equação f(x,y) no campo y' abaixo.

Você também precisa do valor inicial como
y(x_0)=y_0
e o ponto x para o qual você deseja aproximar o valor y.

O último parâmetro de um método - o tamanho do passo - é um passo ao longo da linha tangente para calcular a aproximação sucessiva de uma curva de função.

Se você conhece a solução exata de uma equação diferencial na forma y=f(x), você também pode inseri-la. Nesse caso, a calculadora também plota a solução junto com a aproximação no gráfico e calcula o erro absoluto para cada etapa de aproximação.

A explicação do método pode ser encontrada abaixo da calculadora.

PLANETCALC, Método do ponto médio

Método do ponto médio

Dígitos após o ponto decimal: 2
Equação diferencial
 
Valor aproximado de y
 
Aproximação
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Método do ponto médio

Da mesma forma como acontece com o Método de Euler nós utilizamos a relação
y_{i+1}=y_i + f \Delta x

mas calculamos f de maneira diferente. Em vez de usar a linha tangente no ponto atual para avançar para o próximo ponto, estamos usando a linha tangente no ponto médio, ou seja, um valor aproximado da derivada no ponto médio entre os pontos atuais e os próximos. Para fazer isso, aproximamos o valor de y no ponto médio como
y_n+\frac{\Delta x}{2}f(x_n, y_n)

E nossa relação muda de
y_{i+1}=y_i + f(x_i,y_i) \Delta x

para

y_{i+1}=y_i + f(x_i+\frac{\Delta x}{2}, y_i+\frac{\Delta x}{2}f(x_i, y_i)) \Delta x

O erro local em cada passo do método do ponto médio é da ordem O\left(h^3\right), dando um erro global da ordem O\left(h^2\right). Dessa forma, embora seja mais computacionalmente intensivo do que o método de Euler, o erro do método do ponto médio geralmente diminui mais rápido como h \to 0.1

O método é um exemplo de uma família de métodos de ordem superior conhecidos como Métodos de Runge-Kutta.

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