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Métodos explícitos de Runge–Kutta

Esta calculadora online implementa vários métodos explícitos de Runge–Kutta para que você possa comparar como eles resolvem a equação diferencial de primeiro grau com um dado valor inicial.

Os métodos de Runge–Kutta são os métodos para a solução numérica da equação diferencial ordinária (diferenciação numérica). Os métodos começam a partir de um ponto inicial e, em seguida, dão um pequeno passo para encontrar o próximo ponto de solução. Você pode encontrar a implementação online de 11 métodos explícitos de Runge–Kutta listados aqui, incluindo o Método de Euler, Método do ponto médio e método clássico RK4.

Para utilizar a calculadora, você deve ter a equação diferencial na forma y \prime = f(x,y) e inserir o lado direito da equação - f(x,y) no campo y \prime abaixo.
Você também precisa do valor inicial como y(x_0)=y_0 e o ponto x para o qual você deseja aproximar o valor y.
O último parâmetro de um método - um tamanho de passo - é literalmente um passo para calcular a próxima aproximação de uma curva de função. Se você conhecer a solução exata, poderá inseri-la também, e a calculadora irá calcular um erro absoluto de cada método.

Você pode encontrar uma teoria abaixo da calculadora.

PLANETCALC, Métodos explícitos de Runge–Kutta

Métodos explícitos de Runge–Kutta

Dígitos após o ponto decimal: 6
Equação diferencial
 
Solução exata
 
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Métodos explícitos de Runge–Kutta

A forma geral do método explícito de Runge–Kutta é
y_{n+1}=y_n+h \sum_{i=1}^s b_i k_i
onde
k_i=f(x_n+c_i h, y_n+h\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}k_j)

Um método particular é especificado fornecendo o número inteiro s (o número de estágios) e os coeficientes a_{ij} (para 1 ≤ j < i ≤ s), chamados de matriz de Runge–Kutta, b_i (para i = 1, 2, ..., s), chamados pesos, e c_i (para i = 2, 3, ..., s), chamados nodes. Geralmente os coeficientes são arranjados em uma forma mnemônica, conhecida como Butcher tableau (em homenagem a John C. Butcher):

\begin{array}{c|cccc}c_1 & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\c_2 & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\\vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\c_s & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\\hline& b_1 & b_2 & \dots & b_s\\\end{array}

Aqui estão alguns exemplos de Butcher tableau com s igual a 1, 2, 3 e 4 respectivamente:

Método de Euler

\begin{array}{c|c}0 & 0 \\\hline& 1 \\\end{array}

Método do ponto médio explícito

\begin{array}{c|cc}0 & 0 & 0 \\1/2 & 1/2 & 0 \\\hline& 0 & 1 \\\end{array}

Runge-Kutta de preservação de estabilidade forte de terceira ordem (SSPRK3)

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1&1&0&0\\1/2&1/4&1/4&0\\\hline &1/6&1/6&2/3\\\end{array}}}

Método RK4

\begin{array}{c|cccc}0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1/2 & 1/2 & 0 & 0 & 0\\1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 1 & 0\\\hline& 1/6 & 1/3 & 1/3 & 1/6\\\end{array}
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PLANETCALC, Métodos explícitos de Runge–Kutta
Timur2021-05-28 17:40:45

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