Calculadora online: Métodos explícitos de Runge

Os métodos de Runge–Kutta são os métodos para a solução numérica da equação diferencial ordinária (diferenciação numérica). Os métodos começam a partir de um ponto inicial e, em seguida, dão um pequeno passo para encontrar o próximo ponto de solução. Você pode encontrar a implementação online de 11 métodos explícitos de Runge–Kutta listados aqui, incluindo o Método de Euler, Método do ponto médio e método clássico RK4.

Para utilizar a calculadora, você deve ter a equação diferencial na forma $y \prime = f(x,y)$ e inserir o lado direito da equação - $f(x,y)$ no campo $y \prime$ abaixo.
Você também precisa do valor inicial como $y(x_0)=y_0$ e o ponto $x$ para o qual você deseja aproximar o valor $y$ .
O último parâmetro de um método - um tamanho de passo - é literalmente um passo para calcular a próxima aproximação de uma curva de função. Se você conhecer a solução exata, poderá inseri-la também, e a calculadora irá calcular um erro absoluto de cada método.

Você pode encontrar uma teoria abaixo da calculadora.

Métodos explícitos de Runge–Kutta

x inicial

y inicial

Ponto de aproximação

Tamanho do passo

Solução exata (opcional)

Precisão de cálculo

Dígitos após o ponto decimal: 6

Equação diferencial

Solução exata

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Métodos explícitos de Runge–Kutta

A forma geral do método explícito de Runge–Kutta é
$y_{n+1}=y_n+h \sum_{i=1}^s b_i k_i$
onde
$k_i=f(x_n+c_i h, y_n+h\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}k_j)$

Um método particular é especificado fornecendo o número inteiro s (o número de estágios) e os coeficientes $a_{ij}$ (para 1 ≤ j < i ≤ s), chamados de matriz de Runge–Kutta, $b_i$ (para i = 1, 2, ..., s), chamados pesos, e $c_i$ (para i = 2, 3, ..., s), chamados nodes. Geralmente os coeficientes são arranjados em uma forma mnemônica, conhecida como Butcher tableau (em homenagem a John C. Butcher):

$\begin{array}{c|cccc}c_1 & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\c_2 & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\\vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\c_s & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\\hline& b_1 & b_2 & \dots & b_s\\\end{array}$

Aqui estão alguns exemplos de Butcher tableau com s igual a 1, 2, 3 e 4 respectivamente:

Método de Euler

$\begin{array}{c|c}0 & 0 \\\hline& 1 \\\end{array}$

Método do ponto médio explícito

$\begin{array}{c|cc}0 & 0 & 0 \\1/2 & 1/2 & 0 \\\hline& 0 & 1 \\\end{array}$

Runge-Kutta de preservação de estabilidade forte de terceira ordem (SSPRK3)

${\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1&1&0&0\\1/2&1/4&1/4&0\\\hline &1/6&1/6&2/3\\\end{array}}$

Método RK4

$\begin{array}{c|cccc}0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1/2 & 1/2 & 0 & 0 & 0\\1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 1 & 0\\\hline& 1/6 & 1/3 & 1/3 & 1/6\\\end{array}$

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