Calculadora do polinômio de Lagrange

Esta calculadora online constrói um polinômio de Lagrange para um determinado conjunto de pontos, exibe a solução passo-a-passo e traça o polinômio de Lagrange, assim como seus polinômios de base em tabela. Além disso, ela pode interpolar pontos adicionar, se for o caso.

Eu construí esta calculadora para ser capaz de verificar soluções para problemas de interpolação de Lagrange. Nestes problemas, você geralmente é pedido para interpolar o valor de uma função desconhecida correspondente a um certo valor x, utilizando a fórmula de interpolação de Lagrange a partir de um dado conjunto de dados, ou seja, um conjunto de pontos x, f(x).

A calculadora abaixo consegue auxiliar com o seguinte:

  1. Ela encontra a fórmula final do polinômio de Lagrange para um determinado conjunto de dados.
  2. Ela exibe a derivação da fórmula passo-a-passo.
  3. Ela interpola a função desconhecida computando o valor do polinômio de Lagrange nos dados pontos x (pontos de interpolação)
  4. Ela traça o conjunto de dados, pontos interpolados, polinômio de Lagrange e seus polinômios de base na tabela

Utilização

Primeiro, insira os pontos de dados, um ponto por linha, no formato x f(x), separados por espaços. Se você quiser interpolar a função pelo polinômio de Lagrange, insira os pontos de interpolação no campo seguinte, apenas valores X, separados por espaços.

Por padrão, a calculadora exibe a fórmula final e pontos de interpolação. Se você quiser ver a solução passo-apasso para a fórmula polinomial, ative a opção "Exibir solução passo-a-passo". A tabela ao final exibirá o polinômio de Lagrange, assim como seus polinômios de base. Estes podem ser desativados.

Você também pode encontrar um pouco de teoria sobre o polinômio de Lagrange abaixo da calculadora.

PLANETCALC, Calculadora polinomial de Lagrange

Calculadora polinomial de Lagrange

Dígitos após o ponto decimal: 2
Polinômio de Lagrange
 
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Polinômio de Lagrange
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Polinômio de Lagrange

Suponhamos que temos um conjunto de pontos de dados para a função desconhecida, onde não há dois x que sejam o mesmo:

(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})

Vamos construir o seguinte polinômio (chamado de polinômio de Lagrange):

L(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x)

onde \ell _{j}(x) é o polinômio de base de Lagrange

\ell _{j}(x):=\prod _{\begin{smallmatrix}0\leq m\leq k\\m\neq j\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{\frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}

Se você olhar para a fórmula do polinômio de base e procurar por qualquer j, você pode notar que para todos os pontos i não iguais a j o polinômio de base de j o polinômio de base para j é zero, e no ponto j o polinômio de base para j é um. Ou seja,

y_{j}\ell _{j}(x_{j})=y_{j} \cdot 1=y_{j}

e

L(x_{j})=y_{j}+0+0+\dots +0=y_{j}

o que significa que o polinômio de Lagrange interpola a função exatamente.

Observe que a fórmula de interpolação de Lagrange é suscetível ao fenômeno de Runge. É um problema de oscilação nas extremidades de um intervalo quando usando polinômios de alto grau em cima de um conjunto de pontos de interpolação equidistantes. É importante ter isso em mente, pois isso significa que ir até graus mais altos (ex.: ter mais pontos de dados no conjunto) nem sempre aprimora a precisão da interpolação.

Entretanto, também perceba que diferentemente de algumas outras fórmulas de interpolação, a fórmula de Lagrange não requere que os valores de x devam ser equidistantes. Ela é utilizada em algumas técnicas para mitigar o problema, como a mudança nos pontos de interpolação utilizando nódulos de Chebyshev.

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PLANETCALC, Calculadora do polinômio de Lagrange

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