Calculadora do polinômio de Lagrange
Esta calculadora online constrói um polinômio de Lagrange para um determinado conjunto de pontos, exibe a solução passo-a-passo e traça o polinômio de Lagrange, assim como seus polinômios de base em tabela. Além disso, ela pode interpolar pontos adicionar, se for o caso.
Eu construí esta calculadora para ser capaz de verificar soluções para problemas de interpolação de Lagrange. Nestes problemas, você geralmente é pedido para interpolar o valor de uma função desconhecida correspondente a um certo valor x, utilizando a fórmula de interpolação de Lagrange a partir de um dado conjunto de dados, ou seja, um conjunto de pontos x, f(x).
A calculadora abaixo consegue auxiliar com o seguinte:
- Ela encontra a fórmula final do polinômio de Lagrange para um determinado conjunto de dados.
- Ela exibe a derivação da fórmula passo-a-passo.
- Ela interpola a função desconhecida computando o valor do polinômio de Lagrange nos dados pontos x (pontos de interpolação)
- Ela traça o conjunto de dados, pontos interpolados, polinômio de Lagrange e seus polinômios de base na tabela
Utilização
Primeiro, insira os pontos de dados, um ponto por linha, no formato x f(x), separados por espaços. Se você quiser interpolar a função pelo polinômio de Lagrange, insira os pontos de interpolação no campo seguinte, apenas valores X, separados por espaços.
Por padrão, a calculadora exibe a fórmula final e pontos de interpolação. Se você quiser ver a solução passo-apasso para a fórmula polinomial, ative a opção "Exibir solução passo-a-passo". A tabela ao final exibirá o polinômio de Lagrange, assim como seus polinômios de base. Estes podem ser desativados.
Você também pode encontrar um pouco de teoria sobre o polinômio de Lagrange abaixo da calculadora.
Calculadora polinomial de Lagrange
Polinômio de Lagrange
Suponhamos que temos um conjunto de pontos de dados para a função desconhecida, onde não há dois x que sejam o mesmo:
Vamos construir o seguinte polinômio (chamado de polinômio de Lagrange):
onde é o polinômio de base de Lagrange
Se você olhar para a fórmula do polinômio de base e procurar por qualquer j, você pode notar que para todos os pontos i não iguais a j o polinômio de base de j o polinômio de base para j é zero, e no ponto j o polinômio de base para j é um. Ou seja,
e
o que significa que o polinômio de Lagrange interpola a função exatamente.
Observe que a fórmula de interpolação de Lagrange é suscetível ao fenômeno de Runge. É um problema de oscilação nas extremidades de um intervalo quando usando polinômios de alto grau em cima de um conjunto de pontos de interpolação equidistantes. É importante ter isso em mente, pois isso significa que ir até graus mais altos (ex.: ter mais pontos de dados no conjunto) nem sempre aprimora a precisão da interpolação.
Entretanto, também perceba que diferentemente de algumas outras fórmulas de interpolação, a fórmula de Lagrange não requere que os valores de x devam ser equidistantes. Ela é utilizada em algumas técnicas para mitigar o problema, como a mudança nos pontos de interpolação utilizando nódulos de Chebyshev.
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