Cortando um círculo

Duas formas de cortar um círculo em partes iguais: cortes de setor e cortes paralelos.

A seguir você pode encontrar duas calculadoras que calculam como cortar um círculo em partes iguais - forma tradicional e não tradicional. Pela forma tradicional, suponho que seja como cortar um círculo em setores, assim como você normalmente corta uma torta ou uma pizza. E pela forma não tradicional, suponho que seja como cortar um círculo em fatias verticais iguais com linhas paralelas ou com corda paralelas, se assim desejar. Ambas as calculadoras apresentam um desenho que ilustra o resultado. Além disso, você pode encontrar todas as fórmulas e a matemática no artigo abaixo das calculadoras.

PLANETCALC, Cortando um Círculo em setores iguais

Cortando um Círculo em setores iguais

Dígitos após o ponto decimal: 2
Ângulo de um Setor
 
Comprimento do Arco de um Setor
 
Comprimento de uma Corda de um Setor
 

PLANETCALC, Cortando um Círculo em partes iguais com Cortes Paralelos

Cortando um Círculo em partes iguais com Cortes Paralelos

Dígitos após o ponto decimal: 2
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Cortando um Círculo em Setores

Ok, você precisa cortar um círculo em vários setores (até mesmo em números não pares). Para fazer isso, você precisa encontrar os parâmetros de um setor. É uma tarefa descomplicada:

  1. Encontre o ângulo de um setor em radianos dividindo 2π (representando 360 graus em radianos) pelo número de setores.

\alpha=\frac{2\pi}{N}

  1. Encontre o comprimento de um arco de um setor multiplicando um raio pelo ângulo de um setor em radianos.

a=\alpha R

  1. Encontre o comprimento de uma corda de um setor utilizando a Lei dos cossenos (uma corda é a base do triângulo isósceles, com dois raios como pernas e o ângulo do setor como ângulo de vértice).

c=R^2+R^2-2RR \cos \alpha

Isso define completamente todos os N setores iguais.

Cortando um Círculo com Cortes Paralelos

Dessa forma é mais interessante. Para simplificar, irei considerar a metade de um círculo, uma vez que assim seja simétrico.

Cortando um Círculo em Três Partes com Duas Linhas Paralelas
Cortando um Círculo em Três Partes com Duas Linhas Paralelas

Vamos fatiar com fatias verticais. Nesse caso, nós precisamos encontrar as coordenadas x de cordas paralelas, que devem dividir nosso círculo em partes de áreas iguais. (Veja os pontos x1 e x2 na imagem acima). Vamos derivar a fórmula geral para uma área de uma fatia esquerda.

Nosso semicírculo pode ser pensado como uma função y=f(x), onde x - é a coordenada ao longo do eixo das abcissas e y é a função igual ao valor do ponto do semicírculo correspondente.

y=f(x)
y=f(x)

Utilizando o Teorema de Pitágoras, a função y é

y=\sqrt{R^2 - x^2}}

Para encontrar uma área de uma fatia esquerda, você precisa integrar esta função de -R a x. A antiderivada de nossa função é:

F(x)=\frac{1}{2} (x\sqrt{R^2-x^2} + R^2 \arctan(\frac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}))+C

Precisamos encontrar o valor da constante. Obviamente, no ponto onde x é igual a -R a área deve ser zero. Se inserirmos -R ao invés de x na fórmula acima, iremos obter

F(-R)=-\frac{\pi R^2}{4}+C=0, portanto

C=\frac{\pi R^2}{4}

Nossa integral final é

F(x)=\frac{1}{2} (x\sqrt{R^2-x^2} + R^2 \arctan(\frac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}))+\frac{\pi R^2}{4}

Agora, como encontramos x do primeiro corte? Sabemos a área que devemos obter - Nª parte da área total (observe o semicírculo)

S=\frac{\frac{\pi R^2}{2}}{N}=\frac{\pi R^2}{2N}

Dessa forma, podemos igualar

\frac{1}{2} (x\sqrt{R^2-x^2} + R^2 \arctan(\frac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}))+\frac{\pi R^2}{4}=\frac{\pi R^2}{2N}

O que nos dá

\frac{1}{2} (x\sqrt{R^2-x^2} + R^2 \arctan(\frac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}))+\frac{\pi R^2}{4}-\frac{\pi R^2}{2N}=0

Esta é uma equação transcendental, e nós precisamos utilizar métodos numéricos para resolvê-la, por exemplo, o Método da bissecção ou o Método de Newton. Aqui eu utilizei o método de Newton.

Os próximos pontos de corte podem ser encontrados através da mesma abordagem. Nós precisamos cortar duas vezes mais para o segundo ponto S_2=2\frac{\pi R^2}{2N}, três vezes mais para o terceiro ponto S_3=3\frac{\pi R^2}{2N} e assim por diante.

Então, conseguimos encontrar todos os outros parâmetros, como comprimento da corda, usando as coordenadas do ponto.

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