Centro e raio de um círculo indo da forma geral para a forma padrão

Esta calculadora encontra o centro e o raio do círculo dada a equação de um círculo de uma forma geral. Ela faz isso convertendo uma forma geral em uma equação de forma padrão, se isso for possível.

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Timur

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Julia Gomes

Criado: 2022-02-08 16:17:15, Ultima atualização: 2022-02-08 16:17:15

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Centro e raio de um círculo indo da forma geral para a forma padrão

Insira coeficientes a, b, c, d, e da equação geral de um círculo na seguinte ordem: ax² + by² + cx + dy + e = 0
Dígitos após o ponto decimal: 2
Equação de forma geral de um círculo
 
Equação de forma padrão do círculo
 

Validação

Raio do círculo
 
Centro do círculo
 

Forma geral para cálculo da forma padrão

A calculadora acima pode ser usada para problemas em uma equação de um círculo de forma geral. Na maioria das vezes, você usa uma equação de um círculo em uma forma padrão, que é
(x-a)^2+(y-b)^2=R^2
A partir desta forma de uma equação de círculo, você pode facilmente escolher o centro de um círculo - este seria um ponto com coordenadas (a,b) e o raio de um círculo - isso seria uma raiz quadrada de uma parte direita da equação.

Entretanto, se elevarmos os colchetes e movermos a parte direita da equação para a esquerda, ficará algo assim:
x^2+y^2+cx+dy+e=0
E esta é a forma geral da equação de um círculo. Aqui você não consegue dizer facilmente qual o centro e o raio, e a maioria dos problemas exige que você encontre o centro e o raio exatamente desta forma.

A solução é converter a forma geral de volta para a forma padrão. Reagrupe os membros assim:
(x^2+cx) + (y^2+dy)+e=0

Agora você pode usar a técnica conhecida como completando o quadrado (para mais detalhes consulte Completando o quadrado). Isso significa que você deve substituir a expressão como ax^2+bx+c pela expressão como a(x-h)^2+k. Observe que, para a forma geral da equação de um círculo, os dois primeiros coeficientes são uns, e o membro livre pode ser atribuído a zero. As fórmulas para h e k se tornam muito mais simples.

Para x^2+cx:
h_x=-\frac{c}{2}\\k_x=-\frac{c^2}{4}

Para y^2+dy:
h_y=-\frac{d}{2}\\k_y=-\frac{d^2}{4}

Então
(x^2+cx) + (y^2+dy)+e=0 \\ \to (x-h_x)^2+k_x + (y-h_y)^2+k_y + e=0 \\ \to (x-h_x)^2 + (y-h_y)^2=-e - k_x - k_y

No final, teremos nossa equação do círculo de volta à forma padrão, e então, escolher o centro e o raio se torna trivial. Observe o aviso: Se você obtiver o número negativo à direita, então NÃO era uma forma geral de uma equação de um círculo (às vezes eles pedem para você verificar isso). A calculadora acima também valida essa condição.

Para o problema oposto - indo do centro e o raio de um círculo para a forma geral ou da forma padrão (que é facilmente construída a partir do centro e do raio) para a forma geral, você pode utilizar a calculadora Equação de um Círculo

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