Involuta de um ângulo

Calculadora da involuta de um ângulo e encontrando um ângulo pela involuta fornecida.

Estudando sobre o tema das engrenagens e seus cálculos, encontrei os termos involuta e evolvente. Achei isso interessante e elas merecem calculadoras separadas, observe-as abaixo. A primeira é para a involuta, e as outras duas são para encontrar o ângulo através da involuta fornecida. Para aqueles que estão interessados - o texto sobre a involuta está logo em seguida das calculadoras.

PLANETCALC, Involuta de um ângulo

Involuta de um ângulo

Dígitos após o ponto decimal: 6
Involuta
 



PLANETCALC, Encontrando um ângulo pela involuta (método de Laskin)

Encontrando um ângulo pela involuta (método de Laskin)

Dígitos após o ponto decimal: 2
Ângulo (graus)
 



PLANETCALC, Encontrando um ângulo pela involuta (método de Cheng)

Encontrando um ângulo pela involuta (método de Cheng)

Dígitos após o ponto decimal: 2
Ângulo (graus)
 



Então, na geometria diferencial de curvas evolvente é uma curva, normal da qual é tangente à curva original em cada ponto.

Por ser difícil compreender tudo acima, vou recontar uma definição figurativa, conforme descrito na versão em Inglês do artigo (consulte Involuta na Wikipédia). Caso prefira, você também pode conferir o artigo em Português aqui.

Então, imagine um carretel de linha, onde a ponta livre da linha está posicionada sob o carretel. Se você pegar esta ponta livre e começar a desenrolar o fio enquanto o mantém apertado, a ponta do fio irá descrever alguma curva que será uma evolvente do círculo (o carretel é uma curva original que é um círculo).

A imagem a seguir descreve a evolvente do círculo
(Fonte - Wikipédia). A linha vermelha é uma curva original (círculo), a linha preta é um fio esticado, a linha verde é uma trajetória de uma ponta do fio - a curva que é chamada de evolvente do círculo.

Animated_involute_of_circle.gif

Falando em involuta, o termo involuta é usado alternadamente com o termo evolvente em fontes Inglesas. Dessa forma, ele pode se referir à curva e sua própria função. Nas fontes Russas, o termo evolvente é usado para uma curva, e o termo involuta é para sua função. Nas fontes Brasileiras, assim como nas Inglesas, os termos são utilizados de maneira intercalada.

Acredito que o termo evolvente ficou muito mais claro para você depois da foto acima. Agora, vamos ver que tipo de função é essa. A imagem que criei vai ajudar:

evolvent.JPG



A seção nesta imagem M_xN é igual ao arco M_0N (porque este é o nosso "tópico"). O ângulo "φ" é igual ao arco M_0N que é denominado ângulo evolvente do roll e consiste na soma do ângulo "θ" (evolvente do ângulo) do ângulo "α" (ângulo de pressão). O comprimento dos arcos é M_0N=r_0(\alpha_x+\theta_x)

Pois M_xON é um triângulo retângulo que significa M_xN=r_0tg\alpha_x

Equacionando esses dois arcos entre si, iremos obter r_0(\alpha_x+\theta_x)=r_0tg\alpha, de onde \theta_x=tg\alpha_x-\alpha_x

Esta função \theta_x=tg\alpha_x-\alpha_x
é chamada de involuta ou a evolvente da função.
inv(\alpha_x)=tg\alpha_x-\alpha_x

As equações da curva involuta em coordenadas polares se parecem com isto:
\theta_x=inv(\alpha_x)
r_x=\frac{r_0}{cos\alpha_x}

Pela construção, podemos perceber que o ângulo "α" pode variar de 0 a 90, mas excluindo 90 porque, nesse caso, a linha reta KK será paralela a MxN.

Por que devemos fazer tudo isso? A evolvente do círculo é utilizada na engrenagem involuta - a engrenagem na qual os perfis dos dentes delinearam a involuta do círculo. Durante a engrenagem envolvente, a normal comum aos dentes dos perfis de contato sempre coincidiu com a tangente comum ao círculo de base. Essa tangente é denominada linha de pressão, pois o ponto de contato dos dentes se move por essa linha durante o movimento da roda.
(Imagem). Este é o tipo de engrenagem mais comum.

Além disso, a involuta é utilizada em cálculos associados à engrenagem involuta. Existem cálculos de involutas e vice-versa - encontrando um ângulo por meio de sua involuta. E o segundo tipo de cálculo não é tão simples porque a equação I=tg(x)-x é uma equação transcendental e os métodos numéricos só conseguem solucioná-la.

Para resumir, iremos revisar os métodos numéricos utilizados ​​nas calculadoras acima - Métodos de Laskin e Cheng (para obter mais informações, veja isto)

Método de Laskin

Baseado no método de Newton, que consiste em um procedimento de cálculo iterativo
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

O Saber-Fazer disso está na escolha dos valores iniciais, que pelo método de Laskin é calculado como

x_1 = 1.441I^{\frac{1}{3}}-0.374I, onde I - valor inicial da involuta

Para calcular a próxima aproximação após a revelação da derivada, iremos obter a expressão
x_{n+1}=x_{n}+\frac{I-inv(x_n)}{tan(x_n)^2}

Existem cinco iterações usadas na calculadora, mas quatro devem fornecer a precisão de seis casas decimais. Este método funciona para os valores de involuta de 0 a 1, ou seja, você consegue encontrar os ângulos de 0 a 64.87 graus. Na prática, isso é o suficiente. Existem tabelas para encontrar a involuta que são semelhantes às tabelas de funções trigonométricas e possuem uma série de ângulos de 0 a 60.

Método de Cheng
Baseando-se na determinação de um valor aproximado usando as curvas assintóticas, Cheng chegou na seguinte fórmula:
x = (3I)^{\frac{1}{3}}-\frac{(2I)}{5} + (\frac{9}{175})(3)^{\frac{2}{3}}(I)^{\frac{5}{3}} - (\frac{2}{175})(3)^{\frac{1}{3}}(I)^{\frac{7}{3}} - (\frac{144}{67375})(I)^3 + (\frac{3258}{3128125}) (3)^{\frac{2}{3}}(I)^{\frac{11}{3}} - (\frac{49711}{153278125}) (3)^{\frac{1}{3}}(I)^{\frac{13}{3}}...

Você pode utilizar este método para encontrar os valores das involutas que são estritamente menores que 1.8, ou seja, ele pode encontrar os ângulos de até 71.87. Você realmente não precisa de ângulos maiores que esse - se aproximando dos 90, a tangente tende ao infinito, com todas as consequências subsequentes. Além disso, não existem engrenagens com dentes com ângulos tão grandes.

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