Calculadora online: Raio da Terra por Latitude (WGS 84)

A calculadora abaixo calcula o raio da Terra em uma determinada latitude. Na verdade, obviamente, ela calcula o raio do elipsoide de referência WGS 84 em uma determinada latitude, e caso você queira recapitular a teoria, pode encontrá-la abaixo da calculadora.

Raio da Terra por Latitude (WGS 84)

Latitude

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Raio (km)

Raio da Terra

Visto que a Terra é achatada nos polos e mais saliente no equador, a geodésia representa a forma da Terra com um esferoide achatado. O esferoide oblato, ou elipsoide oblato, é um elipsoide de revolução obtido ao girar uma elipse em torno de seu eixo mais curto. É a forma geométrica regular que mais se aproxima da forma da Terra. Um esferoide que descreve a figura da Terra ou outro corpo celestial é chamado de elipsoide de referência. O elipsoide de referência para a Terra é conhecido como elipsoide terrestre.

A superfície física da Terra é irregular. Ela pode ser aproximada pelo geoide, que foi um importante conceito por quase duzentos anos de história da geodésia e geofísica. De acordo com Gauss, que o descreveu pela primeira vez, é a "figura matemática da Terra", uma superfície lisa, mas altamente irregular, cuja forma resulta da distribuição desigual de massa dentro e na superfície da Terra. A superfície do geoide é irregular, mas é consideravelmente mais lisa do que a superfície física da Terra.

Por causa de sua relativa simplicidade, os elipsoides de referência são utilizados como uma superfície preferida na qual os cálculos da rede geodésica são realizados e as coordenadas do ponto, como latitude, longitude e elevação, são definidas. Atualmente, o elipsoide de referência comum mais utilizado, e aquele usado no contexto do Sistema de Posicionamento Global, é aquele definido pelo WGS 84.

Duas quantidades definem de maneira única um elipsoide de revolução. Múltiplas convenções para expressar as duas quantidades são usadas na geodésia, porém, todas são equivalentes e conversíveis entre si:

Raio equatorial a (chamado de semi-eixo maior), e raio polar b (chamado semi-eixo menor);
a e excentricidade e;
a e nivelamento f.

O WGS 84 define os parâmetros do elipsoide como:
Semi-eixo maior a = 6378137.0 metros
Semi-eixo menor b = 6356752.3142 metros

O ponto na superfície do elipsoide pode ser definido pela equação da curva paramétrica
$(x,y)=(a \, cos(t), b \, sin(t))$

O raio pode ser encontrado através do teorema de Pitágoras
$R(t)^2 = a^2 cos^2(t) + b^2 sin^2(t)$

Entretanto, o problema é que o ângulo t do exemplo acima é a latitude geocêntrica e as coordenadas fornecidas no datum geodésico, como WGS 84, são geodéticas. A latitude geodésica é determinada pelo ângulo entre o plano equatorial e normal para o elipsoide. Em contraste, a latitude geocêntrica é determinada pelo ângulo entre o plano equatorial e a linha que une o ponto ao centro do elipsoide (veja a figura)..

Então, para encontrar o raio, nós precisamos relacionar a latitude geodésica $\alpha$ à latitude geocêntrica $\beta$ .

Vamos começar pela tangente de nossa curva, que pode ser obtida pela diferenciação da equação da curva.
$(x,y)'=(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}) = ( -a \, sin(t), b \, cos(t))$

Este é o vetor que aponta ao longo da curva (ao longo da linha T na figura).

Nós podemos girá-lo 90 graus no sentido horário $(x,y) => (y, -x)$ e obter o vetor normal $(b \, cos(t), a \, sin(t))$ que aponta ao longo da linha N.

O parâmetro t é nosso $\alpha$ . A inclinação do vetor normal também é tangente ao ângulo $\beta$ . Portanto
$tan(\beta)=\frac{a \, sin(\alpha)}{b \, cos(\alpha)}=\frac{a}{b}tan(\alpha)$
ou
$tan(\alpha)=\frac{b}{a}tan(\beta)$

Utilizando as relações entre tangente e cosseno
$1+tan^2(\alpha)=\frac{1}{cos^2(\alpha)} => cos^2(\alpha)=\frac{1}{1+tan^2(\alpha)}$
e entre tangente e seno
$1+cotan^2(\alpha)=\frac{1}{sin^2(\alpha)} => sin^2(\alpha)=\frac{1}{1+\frac{1}{tan^2(\alpha)}}=\frac{tan^2(\alpha)}{1+tan^2(\alpha)}$ ,
é possível reescrevermos a fórmula para o raio como
$R^2 = a^2 \frac{1}{1+tan^2(\alpha)} + b^2 \frac{1}{1+\frac{1}{tan^2(\alpha)}} = \frac{a^2}{1+tan^2(\alpha)} + b^2 \frac{tan^2(\alpha)}{1+tan^2(\alpha)}$
e substituir a tangente $\alpha$ pela tangente da expressão $\beta$
$R^2 = \frac{a^2}{1+\frac{b^2}{a^2}tan^2(\beta)} + b^2\frac{\frac{b^2}{a^2}tan^2(\beta)}{1+\frac{b^2}{a^2}tan^2(\beta)}=\frac{a^4+b^4tan^2(\beta)}{a^2+b^2tan^2(\beta)}$

Em seguida, podemos simplificar um pouco
$R^2 =\frac{a^4+b^4tan^2(\beta)}{a^2+b^2tan^2(\beta)} = \frac{a^4cos^2(\beta)+b^4sin^2(\beta)}{a^2cos^2(\beta)+b^2sin^2(\beta)}= \frac{ (a^2cos(\beta))^2+(b^2sin(\beta))^2}{(a\,cos(\beta))^2+(b\,sin(\beta))^2}$

E finalmente, obter a fórmula da wikipédia

$R =\sqrt{\frac{ (a^2cos(\beta))^2+(b^2sin(\beta))^2}{(a\,cos(\beta))^2+(b\,sin(\beta))^2}}$

A calculadora acima utiliza esta fórmula.

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