Calculadora online: Calculadora espiral

Esta é uma calculadora universal para a Espiral de Arquimedes.

Nós temos cinco dimensões espirais: diâmetro externo - D, diâmetro interno - d, espessura, distância de separação ou distância entre braços - t, comprimento da espiral - L, número de voltas - n. Essas dimensões estão relacionadas entre si (veja as fórmulas abaixo da calculadora), e você pode calcular quaisquer duas se souber as outras três.

Podemos ver espirais na vida cotidiana em qualquer objeto que esteja na forma de rolo: rolos de papel, fitas, filmes e assim por diante. Você pode descobrir facilmente algumas das dimensões desses objetos, como diâmetros e espessuras, ou uma série de voltas e, utilizando a calculadora abaixo, calcular as dimensões que faltam. Por exemplo, você pode calcular o comprimento do rolo a partir dos diâmetros interno e externo e a partir da espessura do rolo ou número de voltas. Você também pode resolver um problema inverso (quando você sabe o comprimento do rolo) - calcular a espessura e o número de voltas utilizando o comprimento do rolo e ambos os diâmetros. Teoria e fórmulas, como de costume, podem ser encontradas abaixo da calculadora.

Por favor, tenha cuidado com o controle da unidade ao inserir as dimensões conhecidas! 20 metros não é o mesmo que 20 milímetros...

Calculadora espiral

Dimensão

Valor

Dimensão

Valor

Dimensão

Valor

Precisão de cálculo

Dígitos após o ponto decimal: 4

Comprimento da espiral

Diâmetro interno

Diâmetro externo

Espessura

Número de voltas

Espiral de Arquimedes

A Espiral de Arquimedes, (também conhecida como espiral aritmética), é uma espiral correspondente às localizações ao longo do tempo de um ponto M se afastando de um ponto central O com uma velocidade constante ao longo de uma linha OA que gira em torno do ponto central O com velocidade angular constante.

Se denotarmos a distância de O a M como ρ, e o ângulo de rotação como φ, então podemos descrever uma espiral com a equação polar:

$\rho = k \phi$ ,

onde k é o parâmetro de tamanho, que é igual à mudança de distância quando o ângulo é girado em 1 radiano. Depois de uma volta (um ângulo aumenta em 2π), a distância aumenta em 2πk.

$a = 2 \pi k$

Esse aumento é a distância entre dois braços de uma espiral, distância de separação ou espessura da espiral. Podemos reescrever nossa equação inicial utilizando a:

$\rho = \frac{a}{2 \pi} \phi$

Uma vez que a espessura é constante, quanto mais o ponto M se afasta do centro, mais a espiral se parece com o círculo.

Para derivar a fórmula para o comprimento da espiral, iremos examinar a mudança no comprimento infinitesimal.

Um segmento espiral infinitesimal dl pode ser pensado como uma hipotenusa do triângulo dl, dρ, e dh. Por isso:

$dl = \sqrt{d\rho^2+dh^2}$

Um segmento de espiral infinitesimal dh pode ser substituído por um segmento infinitesimal de um círculo com raio ρ; portanto, seu comprimento é ρdφ.

$dl = \sqrt{d\rho^2+\rho^2d\phi^2}$

Utilizando a equação polar de uma espiral, podemos substituir ρ por kφ, e dρ por kdφ

$dl = \sqrt{k^2d\phi^2+k^2\phi^2d\phi^2}=kd\phi\sqrt{1+\phi^2}=\frac{a}{2\pi}\sqrt{1+\phi^2}d\phi$

Agora temos a dependência do comprimento dl no ângulo dφ. Para descobrir o comprimento, nós precisamos integrar do ângulo inicial até o ângulo final.

$L=\int \limits _{\phi_0}^{\phi_1}\frac{a}{2\pi}{\sqrt {1+\phi ^{2}}}d\phi$

Em resumo, a integral final é:

$L=\frac{a}{2\pi}\left( \frac{\phi_1}{2}\sqrt{\phi_1^2+1}+\frac{1}{2}ln(\phi_1+\sqrt{\phi_1^2+1}) - \frac{\phi_0}{2}\sqrt{\phi_0^2+1}-\frac{1}{2}ln(\phi_0+\sqrt{\phi_0^2+1}) \right)$

Se uma espiral se inicia do ângulo zero (do centro), a fórmula é simplificada:

$L=\frac{a}{2\pi}\left( \frac{\phi_1}{2}\sqrt{\phi_1^2+1}+\frac{1}{2}ln(\phi_1+\sqrt{\phi_1^2+1}) \right)$

Mas na vida real, é claro, um rolo de material não começa do centro. Normalmente possui uma manga, por isso o diâmetro interno e o ângulo inicial. Como todos esses parâmetros estão relacionados?

Aqui está como o número de voltas n está relacionado aos ângulos:

$n = \frac{\phi_1-\phi_0}{2\pi}$

E aqui está como os diâmetros estão relacionados aos ângulos (isso segue diretamente da equação polar espiral)

$D = \frac{a}{\pi}\phi_1 \\ d = \frac{a}{\pi}\phi_0$

Todas essas são fórmulas de que precisamos para descobrir dimensões desconhecidas por dimensões conhecidas. Entretanto, observe que a equação do comprimento é transcendental e a tarefa inversa (encontrar dimensões desconhecidas enquanto o comprimento está entre as dimensões conhecidas) requer métodos numéricos. Esta calculadora utiliza o Método da secante.

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