Forma Padrão do Polinômio

A calculadora converte um polinômio multivariado para a forma padrão.

Adicionalmente, a calculadora apresenta um polinômio multivariado na forma padrão (expande parênteses, exponencia e combina termos semelhantes). As variáveis ​​dos polinômios podem ser especificadas em letras Inglesas pequenas ou usando a forma de tupla de expoente. Por exemplo, as duas notações a seguir são iguais: 3a^2bd + c e 3 [2 1 0 1] + [0 0 1]. Você pode escolher a representação das variáveis ​​de saída na forma simbólica, na forma de variáveis ​​indexadas ou na tupla de expoentes. A calculadora também fornece o grau polinomial e o vetor de graus dos monômios. Os coeficientes do polinômio resultante podem ser calculados no campo dos números racionais ou reais.

PLANETCALC, Forma Padrão do Polinômio

Forma Padrão do Polinômio

Resultado
 
Grau polinomial
 
Graus monomiais
 

Monômio

Um monômio é um produto de potências de várias variáveis xi com expoentes inteiros não negativos ai:
x^{\alpha}={x_1}^{\alpha_1}{x_2}^{\alpha_2}{x_3}^{\alpha_3} ... {x_n}^{\alpha_n}
Se o número de variáveis ​​for pequeno, as variáveis dos polinômios podem ser escritas por letras Latinas. Por exemplo: x12x2 e x2y são - notações equivalentes do monômio de duas variáveis.
Um monômio também pode ser representado como uma tupla de expoentes:
\alpha=({\alpha_1},{\alpha_2},{\alpha_3}, ... ,{\alpha_n})
Por exemplo: x2y3z monômio pode ser representado como tupla: (2,3,1)
O grau do monômio é a soma de todos os expoentes variáveis:
\mid \alpha \mid = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + ... + \alpha_n
Por exemplo, grau de monômio: x2y3z is 2+3+1 = 6

Polinômio

Um polinômio é uma soma finita de monômios multiplicada pelos coeficientes cI:
f=\sum _I c_I {x_1}^{\alpha_1}{x_2}^{\alpha_2}{x_3}^{\alpha_3} ... {x_n}^{\alpha_n}
Um grau polinomial deg(f) é o máximo do grau monomial |α| com coeficientes que não sejam zero.
Ao contrário dos polinômios de uma variável, os polinômios multivariados podem ter vários monômios com o mesmo grau.
Em relação a isso, surge a questão de determinar a ordem no conjunto de termos do polinômio.

Ordem monomial1

Existem diversas maneiras de especificar a ordem dos monômios.

Ordem lexicográfica

A ordem monomial mais simples é a lexicográfica. Neste caso, a coordenada diferente de zero e mais à esquerda do vetor obtida através da subtração das tuplas de expoentes dos monômios comparados é positiva:
x^{\alpha}>_{lex}x^{\beta} \Leftarrow {\alpha}>{\beta}
Exemplo da ordem lexicográfica:
x^{\alpha}=x^2y^3z >_{lex} x^{\beta}=x^2y^2z^3, \\\alpha-\beta=(2,3,1)-(2,2,3)=(0,1,-2)
O primeiro monômio xα é lexicograficamente maior que o segundo xβ, uma vez que após a subtração das tuplas de expoentes obtemos (0,1,-2), onde a coordenada diferente de zero mais à esquerda é positiva.

Ordem Lexicográfica Graduada

A ordem lexicográfica graduada é determinada principalmente pelo grau do monômio. Se o grau for maior, o monômio também é considerado maior. No caso de graus iguais, a comparação lexicográfica é aplicada:
x^{\alpha}>_{grlex}x^{\beta} \Leftarrow \begin{cases} \mid{\alpha}\mid>\mid{\beta}\mid \\ \mid{\alpha}\mid=\mid{\beta}\mid,  {\alpha}>_{lex} {\beta} \end{cases}
Exemplos de ordem lexicográfica graduada:
a)
x^{\beta}=x^2y^2z^3 >_{grlex} x^{\alpha}=x^2y^3z , \\ \mid\beta\mid  = 7 > \mid\alpha\mid=6
O monômio xβ é maior que xα, uma vez que o grau |β|=7 é maior que o grau |α|=6.
b)
 x^{\alpha}=x^2y^3z >_{grlex} x^{\gamma}=xy^5  , \\ \mid\alpha\mid  =  \mid\gamma\mid=6, {\alpha}>{\gamma}
O monômio xα é maior que xγ, dado que eles são do mesmo grau, mas o primeiro é maior que o segundo lexicograficamente.

Ordem Lexicográfica Reversa Graduada

A ordem lexicográfica reversa graduada é semelhante à anterior. Se o grau for maior, o monômio também é considerado maior. O monômio é maior se a coordenada diferente de zero mais à direita do vetor obtida através da subtração das tuplas de expoentes dos monômios comparados for negativa no caso de graus iguais.
Exemplos de comparação lexicográfica reversa graduada:
a)
x^{\beta}=x^2y^2z^3 >_{grevlex} x^{\alpha}=x^2y^3z , \\ \mid\beta\mid  = 7 > \mid\alpha\mid=6
O monômio xβ is greater than xα, uma vez que grau |β|=7 é maior que o grau |α|=6.
b)
  x^{\gamma}=xy^5  >_{grevlex} x^{\alpha}=x^2y^3z , \\ \mid\alpha\mid  =  \mid\gamma\mid=6, {\gamma}-{\alpha}=(1,5,0)-(2,3,1)=(-1,2,-1)
O monômio xγ é maior do que o xα, uma vez que seus graus são iguais, mas a subtração das tuplas de expoentes dá (-1,2,-1) e nós vemos que o valor mais à direita está abaixo de zero.


  1. David Cox, John Little, Donal O’Shea Ideals, Varieties, and
    Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra (Ideais, Variedades e Algoritmos: Uma Introdução à Geometria Algébrica Computacional e à Álgebra Comutativa), Terceira edição, 2007, Springer 

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