O discriminante
Esta calculadora online calcula o discriminante do polinomio quadrático assim como polinomiais de alto grau.
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Em álgebra, o discriminante de um polinomial é uma função polinomial de seus coeficientes, que permite deduzir algumas propriedades das raízes sem computá-las.1
Você provavelmente está ciente da fórmula conhecida do discriminante para polinomial quadrático , que é
e usa esta fórmula para computar as raízes.
Entretanto, o discriminante na verdade nos permite deduzir algumas das propriedades das raízes sem computá-las. No caso do polinomial quadrático, é zero se e apenas se o polinomial tem uma raíz dupla, ele é positivo se o polinomial tem duas raízes reais, e ele é negativo se as raízes forem complexas.
A calculadora abaixo computa o discriminante e você pode encontrar um pouco mais de teoria sobre os discriminantes logo abaixo.
O discriminante de um polinomial quadrático
Discriminante
O discriminante para um polinomial de grau n: pode ser definido ou em termos do quociente do resultado ou em termos das raízes.
Em termos das raízes, o discriminante é igual a
Tecnicamente, é possível derivar a fórmula para a equação quadrática sem saber qualquer coisa sobre o discriminante. E então, se você conectar as expressões derivadas das raízes à definição acima, você terminará com a .
Em termos do quociente do resultado, o discriminante é igual a
onde Res é o resultante de A e a primeira derivação de A'. O resultante, em resumo é o determinante da Matriz de Sylvester de A e A'.
No caso de o polinomial quadrático, A é e A' é
. Se você, de fato,escrever a matriz de Sylvester para esses dois polinomiais e derivar o determinante, você novamente terminará com a
.
Computação do discriminante de maior grau
Utilizando a segunda definição, você pode derivar as fórmulas para polinomial de maiores graus (o link abaixo tem fórmulas para grau 3 e grau 4), porém elas são bem complexas.
A sequência OEIS A007878 lista 5 termos para polinomiais de grau 3, 16 termos para grau 4, 59 termos para grau 5,e finalmente 3815311 termos para polinomiais de grau 12.
A calculadora abaixo computa o discriminante de um polinomial de maior grau a partir do resultante de um polinomial e seu derivado
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