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Completando o quadrado

Esta calculadora online permite que você use a técnica de completar o quadrado para completar o quadrado.

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Julia Gomes

Criado: 2022-02-08 23:26:51, Ultima atualização: 2022-02-08 23:26:51
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Esta calculadora online aplica a técnica completando o quadrado a um polinômio quadrático, representado por seus coeficientes a, b e c. Ou seja, converte o polinômio quadrático da forma ax^2+bx+c para a forma a(x-h)^2+k.

A teoria e as fórmulas podem ser encontradas abaixo da calculadora.

PLANETCALC, Completando o quadrado

Completando o quadrado

Três coeficientes polinomiais quadráticos, separados por espaço, em ordem do grau de termo mais alto para o mais baixo
Completando o quadrado
 

Completando o quadrado.

Como foi dito acima, completar um quadrado é uma técnica para converter a forma ax^2+bx+c de polinômio quadrático para a forma a(x-h)^2+k.

Completar o quadrado é usado para

  • solucionar equações do segundo grau,
  • gráficos de funções quadráticas,
  • avaliar integrais em cálculo, como integrais gaussianas com um termo linear no expoente,
  • encontrar transformadas de Laplace.

Na matemática, completar o quadrado é frequentemente aplicado em qualquer computação envolvendo polinômios quadráticos. Completar o quadrado também é usado para derivar a fórmula quadrática.1

Fórmulas para h e k

Vamos derivar fórmulas para os coeficientes h e k. Sabemos que o quadrado do binômio é

(x+p)^{2}=x^{2}+2px+p^{2}

Agora, vamos fatorar o coeficiente a para obter um polinômio quadrático mônico.

x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}

Podemos escrever um quadrado de binômio onde esses dois termos serão iguais aos dois primeiros termos do polinômio quadrático:

(x+\frac{b}{2a})^2=x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}

Difere do polinômio quadrático apenas no valor do termo constante. Portanto

x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}

Ao adicionar a constante, nós completamos o quadrado, daí o nome da técnica.

Agora conseguimos restaurar a por meio da multiplicação de ambas as partes da igualdade para a e finalmente escrever a igualdade assim.

ax^2+bx+c=a(x-h)^2+k

onde
k=c-\frac{b^2}{4a} \\\\ h=-\frac{b}{2a}

  1. Wikipédia: Completando o quadrado ↩

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