Método de Euler

Você pode utilizar esta calculadora para resolver equações diferenciais de primeiro grau com um determinado valor inicial, usando o método de Euler.

Para usar este método, você deve ter uma equação diferencial na forma

Você insere o lado direito da equação f(x,y) no campo y' a seguir.

Você também precisa do valor inicial como

e o ponto para o qual você deseja aproximar o valor de .

O último parâmetro do método - um tamanho de passo - é literalmente um passo ao longo da linha tangente para calcular a próxima aproximação de uma curva de função.

Se você conhece a solução exata de uma equação diferencial na forma y=f(x), você também pode inseri-la. Nesse caso, a calculadora também plota a solução junto com a aproximação no gráfico e calcula o erro absoluto para cada passo da aproximação.

Uma explicação do método pode ser encontrada abaixo da calculadora.

Método de Euler

y'

x inicial

y inicial

Ponto de aproximação

Tamanho do passo

Solução exata (opcional)

Precisão de cálculo

Dígitos após o ponto decimal: 2

Calcular

Equação diferencial

 

Valor aproximado de y

 

Aproximação

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Método de Euler

Então, suponhamos que temos o seguinte

Se calcularmos

iremos encontrar a derivada y' no ponto inicial.

Para suficientemente pequeno, podemos aproximar o próximo valor de y como

Ou, menor

E no caso geral

Continuamos a calcular os próximos valores de y usando essa relação até atingirmos o ponto x almejado.

Essa é a essência do método de Euler. é o tamanho do passo. O erro em cada passo (erro de truncamento local) é grosseiramente proporcional ao quadrado do tamanho do passo, portanto, o método de Euler é mais preciso se o tamanho do passo for menor. Entretanto, o erro de truncamento global é o efeito cumulativo dos erros de truncamento locais e é proporcional ao tamanho do passo, e é por isso que o método de Euler é considerado um método de primeira ordem.

Métodos mais complicados podem atingir uma ordem superior (e com mais precisão). Uma possibilidade é utilizar mais avaliações de função. Isso é ilustrado através do Método do ponto médio.