Calculadora online: Método do ponto médio

Você pode usar esta calculadora para resolver uma equação diferencial de primeiro grau com um determinado valor inicial utilizando o método do ponto médio explícito também conhecido como Método de Euler modificado.

Para usar este método, você deve ter uma equação diferencial na forma
$y \prime = f(x,y)$
e inserir o lado direito da equação f(x,y) no campo y' abaixo.

Você também precisa do valor inicial como
$y(x_0)=y_0$
e o ponto $x$ para o qual você deseja aproximar o valor $y$ .

O último parâmetro de um método - o tamanho do passo - é um passo ao longo da linha tangente para calcular a aproximação sucessiva de uma curva de função.

Se você conhece a solução exata de uma equação diferencial na forma y=f(x), você também pode inseri-la. Nesse caso, a calculadora também plota a solução junto com a aproximação no gráfico e calcula o erro absoluto para cada etapa de aproximação.

A explicação do método pode ser encontrada abaixo da calculadora.

Método do ponto médio

x inicial

y inicial

Ponto de aproximação

Tamanho do passo

Solução exata (opcional)

Precisão de cálculo

Dígitos após o ponto decimal: 2

Equação diferencial

Valor aproximado de y

Aproximação

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Método do ponto médio

Da mesma forma como acontece com o Método de Euler nós utilizamos a relação
$y_{i+1}=y_i + f \Delta x$

mas calculamos f de maneira diferente. Em vez de usar a linha tangente no ponto atual para avançar para o próximo ponto, estamos usando a linha tangente no ponto médio, ou seja, um valor aproximado da derivada no ponto médio entre os pontos atuais e os próximos. Para fazer isso, aproximamos o valor de y no ponto médio como
$y_n+\frac{\Delta x}{2}f(x_n, y_n)$

E nossa relação muda de
$y_{i+1}=y_i + f(x_i,y_i) \Delta x$

para

$y_{i+1}=y_i + f(x_i+\frac{\Delta x}{2}, y_i+\frac{\Delta x}{2}f(x_i, y_i)) \Delta x$

O erro local em cada passo do método do ponto médio é da ordem $O\left(h^3\right)$ , dando um erro global da ordem $O\left(h^2\right)$ . Dessa forma, embora seja mais computacionalmente intensivo do que o método de Euler, o erro do método do ponto médio geralmente diminui mais rápido como $h \to 0$ .¹